Читать книгу: «Чудеса арифметики от Пьера Симона де Ферма», страница 6

3.3.2. Доказательство Ферма

Итак, чтобы доказать основную теорему арифметики, предположим, что существуют равные натуральные числа A, B, состоящие из разных простых множителей:

A=B где A=pp₁p₂ …p_n; B=хx₁x₂ …x_m ; n≥1; m≥1 (1)

В силу равенства чисел A, B каждое из них делится на любое из простых чисел p_i или x_i. Каждое из чисел A, B может состоять из любого набора простых множителей, в т. ч. и одинаковых, но при этом среди них нет ни одного p_i равного x_i, иначе в (1) они были бы сокращены. Теперь (1) можно представить, как: pQ=xY где p, x – минимальные простые числа среди p_i, x_i; Q=A/p; Y=B/x (2)

Поскольку множители p, x разные, условимся, что p>x; x=p–δ₁, тогда pQ=(p–δ₁)(Q+δ₂) где δ₁=p–x; δ₂=Y–Q (3)

Откуда следует: Qδ₁=(p – δ₁)δ₂ или Qδ₁=xδ₂ (4)

Уравнение (4) – это прямое следствие предположения (1). Правая часть этого уравнения содержит в явном виде простой множитель x. Однако в левой части уравнения (4) число δ₁ не может содержать множитель x, т.к. δ₁=p–x не делится на x из-за того, что p – простое число. Число Q также не содержит множитель x, т.к. по нашему предположению оно состоит из множителей p_i, среди которых нет ни одного равного x. Таким образом, справа в уравнения (4) есть множитель x, а слева его нет. Тем не менее нет оснований утверждать, что это невозможно, т.к. мы изначально допускаем существование равных чисел с разными простыми множителями. Тогда остаётся лишь признать, что если существуют натуральные числа A=B, составленные из разных простых множителей, то необходимо, чтобы в этом случае существовали и другие натуральные числа A₁= Qδ₁ и B₁=xδ₂; также равные между собой и составленные из разных простых множителей. Если учитывать, что δ₁=(p–x)<p, а δ₂=(Y–Q)<Y, то после сопоставления уравнения (4) с уравнением (2) можно констатировать: A₁ = B₁, где A₁<A; B₁<B (5)

Теперь мы получаем ситуацию, аналогичную ситуации с числами A, B, только с меньшими числами A₁, B₁. Анализируя затем (5) изложенным выше способом, мы будем вынуждены признать, что должны существовать числа A₂=B₂, где A₂<A₁; B₂<B₁ (6)

Следуя этим путем, мы неизбежно придем к случаю, когда существование чисел

A_k=B_k, где A_k<A_k-1; B_k<B_k-1 как прямое следствие предположения (1) станет невозможно. Следовательно, наше начальное предположение (1) также невозможно и таким образом теорема доказана⁴¹. Глядя на это очень простое и даже элементарное доказательство методом спуска, естественно, возникают недоуменные вопросы, как же это могло так случиться, что в течение многих веков наука не только это доказательство не получила, но и была в полном неведении, что у неё нет никакого доказательства вообще?

С другой стороны, даже заблуждаясь в этом вопросе, т.е. считая, что эта теорема была доказана ещё Евклидом, как наука могла её игнорировать, используя «комплексные числа» и обрекая себя тем самым на разрушение изнутри? И наконец, как же можно объяснить, что эта очень простая, по сути, теорема, на которой держится вся наука, вообще не преподаётся в средней школе?

Что же касается метода спуска, то данное доказательство является одним из самых простых примеров его применения, что встречается довольно редко из-за широкой универсальности этого метода. Гораздо чаще для применения метода спуска требуется большое напряжение мысли, чтобы подвести под него логическую цепь рассуждений. С этой точки зрения могут быть поучительны и некоторые другие особые примеры решения задач этим методом.

3.4. Метод спуска

3.4.1. Немножко «остроты ума» для очень трудной задачи

Мы рассмотрим теперь ещё один пример задачи из письма-завещания Ферма, которая сформулирована там следующим образом:

Существует только один целый квадрат, который, увеличенный на два, даёт куб, этот квадрат равен 25.

Когда по предложению Ферма её попытался решить лучший английский математик того времени Джон Валлис (John Wallis), то он был очень сильно раздосадован и вынужден признать, что не может это сделать. Более двух веков считалось, что решение этой задачи получил Леонард Эйлер, но его доказательство основано на применении «комплексных чисел», а мы-то знаем, что это вовсе не числа, т.к. они не подчиняются основной теореме арифметики. И только в конце ХХ века Андрé Вейль (André Weil) с помощью метода треугольников Ферма, всё-таки сумел получить доказательство [17]. Это был большой прогресс, т.к. здесь использован чисто арифметический метод, однако применительно к данной задаче он явно был притянут за уши. Мог ли Ферма решить эту задачу проще? Ответ на этот вопрос мы также извлечём из тайника, что позволит нам раскрыть и эту тайну науки в виде следующей реконструкции. Итак, мы имеем уравнение p³=q²+2 с очевидным решением p=3, q=5. Для доказательства утверждения Ферма, предположим, что существует ещё одно решение

P>p=3, Q>q=5, которое удовлетворяет уравнению

P³=Q²+2 (1)

Поскольку очевидно, что Q>P, то пусть

Q=P+δ (2)

Подставляя (2) в (1), получим:

P²(P–1)–2δP–δ²=2 (3)

Здесь нам потребуется самая малость «остроты ума», чтобы заметить, что δ>P, иначе уравнение (3) невыполнимо. Действительно, если сделать пробу δ=P, то слева (3) будет:

P²(P–4)>2, что не подходит, следовательно, должно существовать число δ₁=δ–P. Тогда, подставляя δ=P+δ₁ в (3), получим

P²(P–4)–4δ₁P–δ₁² = 2 (4)

Теперь-то мы непременно заметим, что δ₁>P, иначе по той же логике, что и выше, слева (4) мы получим:

P²(P–9)>2, что опять-таки не подходит, тогда, должно существовать число δ₂=δ₁–P, и подставляя δ₁=P+δ₂ в (4), получим:

P²(P–9)–6δ₂P–δ₂²=2 (5)

Вот здесь-то уже можно совсем не сомневаться, что так будет продолжаться без конца и края. Действительно, путем проб δ_i=P каждый раз мы получаем P²(P−K_i)>2. Каким бы ни было число K_i, это уравнение невыполнимо, поскольку если K_i<P и P>3, то P²(P−K_i)>2, а если K_i≥P, то такой вариант исключается, т.к. тогда P²(P−K_i)≤0. Продолжать так бесконечно явно бессмысленно, следовательно, наше начальное предположение о существовании других решений P>3, Q>5 неверно и эта теорема Ферма доказана.

В часто упоминаемой нами книге Сингха эта задача приводится как пример «головоломок», которые «придумывал» Ферма. Но теперь выясняется, что универсальный метод спуска и простой приём с пробами приравненных чисел делают эту задачу одним из очень эффективных примеров для обучения в школе. Имея это доказательство, школьники без труда смогут доказать ещё одну теорему из письма-завещания Ферма, которую в своё время мог решить только такой знаменитый на весь мир учёный, как Леонард Эйлер:

Существуют только два целочисленных квадрата, которые, увеличенные на 4, дают кубы, эти квадраты будут 4 и 121.

Иными словами, уравнение p³=q²+4 имеет только два решения в целых числах.

3.4.2 Золотая теорема Ферма

Напомним, что в известном нам письме-завещании Ферма, (п. 3.3.1), изложен только частный случай этой теоремы для квадратов. Но и этот упрощённый вариант задачи оказался не по силам не только представителям высшей французской аристократии Баше и Декарту, но даже и королевско-императорскому математику Эйлеру.

Другой королевский математик Лагранж, благодаря тождеству, найденному Эйлером, всё же сумел справиться с квадратами и его доказательство только одного этого частного случая ЗТФ тиражируется до сих пор чуть ли не во всех учебниках. Однако, не поддаётся никакому разумному объяснению то, что общее доказательство ЗТФ для всех многоугольных чисел, полученное Коши в 1815 г., было просто проигнорировано научным сообществом.

Наше исследование мы начнём с формулировки ЗТФ из письма Ферма к Мерсенну 1636 г. следующим образом:

Всякое <натуральное> число равно

одному, двум или трём треугольникам,

одному, 2, 3 или 4 квадратам,

одному, 2, 3, 4 или 5 пятиугольникам, и так до бесконечности [31].

Поскольку многоугольные числа явно не в почёте у сегодняшней науки, мы дадим здесь все необходимые разъяснения. Формула вычисления любого многоугольного числа представляется как m_i =i+(k−2)(i−1)i/2 где m – многоугольное число, i – порядковый номер, k – количество углов.

Таким образом, m₁=1; m₂=k; а для всех остальных i значения m_i варьируются в широких пределах, как показано в Табл. 1.

Для вычисления m_i достаточно получить по формуле только треугольные числа, что очень легко, поскольку разница между ними с каждым шагом растёт на единицу. А все остальные m_i можно вычислять путём прибавления в столбцах предыдущего треугольного числа. Например, в столбце i=2 числа увеличиваются на единицу, в столбце i=3 – на три, в столбце i=4 – на шесть и т.д., т.е. как раз на величину треугольного числа из предыдущего столбца.

Табл. 1. Многоугольные числа

Убедиться в том, что любое натуральное число представляется суммой не более чем k k-угольных чисел, довольно легко. Например, треугольное число 10, состоит из одного слагаемого. Далее 11=10+1, 12=6+6, 13=10+1 из двух, 14=10+3+1 из трёх, 15 вновь из одного слагаемого. И так будет происходить регулярно со всеми натуральными числами. Удивительно то, что количество необходимых слагаемых ограничивается именно числом k. Так что же это за чудодейственная сила, которая неизменно даёт такой результат?

Для примера возьмём натуральное число 41. Если в качестве слагаемого будет ближайшее к нему треугольное число 36, то уложиться в три многоугольных числа не получится никак, поскольку иначе как из 4-х слагаемых, т.е. 41=36+3+1+1 это число не получается. Однако, если мы вместо 36 возьмём другие треугольные числа, например, 41=28+10+3, или 41=21+10+10, то опять каким-то неведомым чудесным образом всё будет так, как утверждает ЗТФ.

На первый взгляд представляется просто невероятным, что можно как-то с этим разобраться? Но мы всё же обратим внимание на существование особых натуральных чисел, которые представляются не менее, чем из k k-угольных чисел и обозначим их как S-числа. Такие числа легко найти, например, для треугольников – это 5, 8, 14, для квадратов – 7, 15, 23, для пятиугольников – 9, 16, 31 и т.д. И вот такое простое наше наблюдение позволяет двигаться к цели напрямую, т.е. не задействуя хитроумные приёмы или мощную «остроту ума».

Теперь, чтобы доказать ЗТФ, предположим обратное, т.е. что существует некое минимальное натуральное число N, представляемое не менее, чем из k+1 k-угольных чисел. Тогда понятно, что это наше предполагаемое число должно находиться между какими-нибудь k-угольными числами m_i и m_i+1 и может представляться как

N = m_i + δ₁, где δ₁ = N− m_i (1)

Вполне очевидно, что δ₁ должно быть S-числом, поскольку иначе это будет противоречить нашему предположению о числе N. Далее мы поступаем также, как и в нашей пробе с числом 41, т.е. представляем предполагаемое число как N = m_i-1 + δ₂= m_i-2 + δ₃; где δ₂ = N − m_i-1; δ₃ = N − m_i-2 и т.д. Теперь δ₂, δ₃ и т.д. также должны быть S-числами. И вот так мы будем двигаться по спуску до самого конца, т.е. до

δ_i-1 = N − m₂ = N − k и δ_i = N − m₁ = N – 1 (2).

Таким образом, в последовательности чисел от δ₁ до δ_i все они должны быть S-числами, в то время как наше предполагаемое число N будет состоять не менее чем из k+1 k-угольных чисел. Из (1) и (2) следует: N−m_i =S_i (3).

Следовательно, если отнимать от нашего предполагаемого числа N любое меньшее его многоугольное число m_i, то согласно нашему предположению, в результате должно получаться только S-число. Конечно, это условие выглядит просто невероятным и создаётся впечатление, что мы уже у цели, но как же тогда доказать, что это невозможно?

Если бы мы дали здесь ответ на этот вопрос, то эта знаменитая теорема Ферма сразу превратилась бы в самую обычную школьную задачку и интерес к ней был бы утрачен. Чтобы этого не произошло, мы пока остановимся на том, что доказательство изложено здесь только на 99%, а остающийся 1% мы предложим найти тем, кому это будет интересно, чтобы оценить истинное великолепие этого научного достижения Ферма особенно в сравнении с доказательством ЗТФ Коши.⁴²

Рис.34. Титульная страница доказательства Коши

Золотой теоремы Ферма

Рис. 35. Одна из 43-х страниц доказательства Коши

Золотой теоремы Ферма

3.4.3. Задача Архимеда-Ферма

Постановка задачи выглядит следующим образом:

Пусть дано любое неквадратное число, требуется найти бесконечное число квадратов, которые при умножении на данное число и увеличении на единицу составят квадрат.

Ферма предложил найти решения для чисел 61, 109, 149, и 433 [36].

Способ, как вычислить требуемые числа, сумел найти английский математик Джон Валлис, применив метод Евклида разложения иррационального числа в бесконечную простую дробь. Своё решение он опубликовал его под названием «Commercium epistolicum» см. рис. 37-38.

Рис. 36. Джон Валлис

Хотя Валлис и не дал полное доказательства правомерности этого метода, Ферма всё же признал, что с задачей он справился. К решению почти вплотную приблизился Эйлер, когда он показал, что эта дробь цикличная, однако и ему не удалось довести доказательство до конца, и в конечном итоге эту задачу всё-таки решил Лагранж. Позже уже своим способом решение нашёл также Гаусс, но для этого была задействована созданная им обширная теория под названием «Арифметика вычетов».

Рис. 37. Титульная страница публикации Валлиса

Commercium epistolicum

И всё было бы хорошо, если бы доказательство Лагранжа не относилось к категории высшей трудности, а решение Гаусса не опиралось на сложнейшую теорию. Ведь сам Ферма явно не мог следовать ни тем, ни другим путем. О том, как он сам решил эту задачу, он сообщает в письме-завещании в августе 1659 г. [36]: «Я признаю, что г-н Френикль дал различные частные решения этого вопроса, а также г-н Валлис, но общее решение будет найдено с помощью метода спуска, примененного умело и надлежащим образом». Однако это решение Ферма так и осталось для всех тайной за семью печатями!

Рис. 38. Страница 64 Commercium epistolicum,

демонстрирующая метод Валлиса

Мы попробуем здесь немножко приоткрыть завесу над этой тайной. Для этого мы рассмотрим простой пример вычислений по методу Валлиса и затем сравним его с тем, как можно было бы сделать эти вычисления по методу Ферма. Итак, нам нужно найти самое маленькие числа x и y, удовлетворяющие уравнению Ax²+1=y². Пусть A=29, тогда вычисления методом Валлиса выглядят следующим образом [32]:

Из этой последовательности вычислений цепочка подходящих дробей получается обратным ходом, т.е. от a₅ до a₀ и выглядит как: 5/1; 11/2; 16/3; 27/5. В итоге получаем 70/13. Тогда минимальным решением будет:

X₁√29+у₁=(13√29+70)²=1820√29+9801; x₁=1820; y₁=9820

Валлис не сумел доказать, что такой способ вычислений даёт решения для любого неквадратного числа A. Однако он догадался, что цепочка вычислений заканчивается там, где a₆ будет вычисляться по той же формуле, что и a₁. Чтобы понимать смысл этой цепочки вычислений, нужно изучить очень объёмистую и исключительно трудную теорию [7, 14, 19, 23, 26, 32], которую Ферма в то время не смог бы разработать. Поскольку никаких рабочих рукописей Ферма по арифметики не сохранилось, то возникает естественный вопрос: как же он мог сформулировать такую трудную задачу, о которой до него было очень мало сведений?

Для сегодняшней науки такой вопрос явно выходит за рамки её возможностей, т.к. для неё верхом достижений при решении задач Ферма является любой результат, даже раздутый до таких невероятных размеров, которые мы имеем сегодня. Однако трудно себе представить, как будет удручена эта наша уважаемая наука, когда из этой книжки она узнает, что задача была решена Ферма вовсе не для великих учёных, а … для школьников!!! Но мы здесь не можем позволить себе её так сильно огорчать, поэтому отметим только то, что приводимый в учебниках пример очень неудачный, т.к. он решается совсем просто, а именно: x=2mz, где m<x, z<y, Am²−1=z². Это последнее уравнение отличается от исходного лишь знаком и даже методом обычных проб, не прибегая к иррациональным числам, можно легко найти решение m=13; z=70; x=2×13×70=1820; y=9820.

Очевидно, что в учебниках было бы гораздо уместнее демонстрировать пример с числом 61, т.е. наименьшим числом, предложенным самим Ферма. Как он сам решил эту задачу, науке неизвестно, но мы-то уже неоднократно демонстрировали, что узнать это для нас не проблема. Нужно всего-то лишь ещё разочек заглянуть в тайник тулузского сенатора и, как только нам это удалось, мы быстро нашли нужный пример, чтобы его можно было сравнить с методом Валлиса. В этом примере можно вычислить x=2mz, где m и z это решения соответствующего уравнения 61m²–z²=1. Тогда цепочка вычислений получается следующим образом:

61m²−z²=1

m=(8m₁±z₁)/3=(8×722+5639)/3=3805; z²=61×3805²−1=29718²

61m₁²−z₁²=3

m=(8m₁±z₁)/3=(8×722+5639)/3=3805; z₁²=61×722²−1=29718²

61m₂²−z₂²=9

m=(8m₁±z₁)/3=(8×722+5639)/3=3805; z₂²=61×137²−1=29718²

61m₃²−z₃²=27

m₃=(8m₄±z₄)/3=(8×5+38)/3=26; z₃²=61×26²−27=203²

61m₄²−z₄²=81

m₄=(8m₅±z₅)/3=(8×2−1)/3=5; z₄²=61×5²−81=38²

61m₅²−z₅²=243

m₅=2; z₅²=1

Мы не будем раскрывать все нюансы этого метода, иначе всякий интерес к этой задаче был бы утрачен. Мы отметим лишь, что по сравнению с методом Валлиса, где метод спуска не применяется, здесь он присутствует в явном виде. Это выражается в том, что если числа m и z, удовлетворяющие уравнению 61m²–z²=1, существуют, то должны ещё существовать числа m₁<m и z₁<z, удовлетворяющие уравнению 61m₁²–z₁²=3, а также числа m₂<m₁ и z₂<z₁, из уравнения 61m₂²–z₂²=9, и т.д. вплоть до минимальных значений m₅<m₄ и z₅<z₄. Число 3, фигурирующее в спуске, вычисляется как 64–61, т.е. как разница между 61 и ближайшим к нему квадратом. Вычисления, также, как и при методе Валлиса, ведутся в обратном порядке, т.е. только после того, как будут вычислены минимальные значения m_{5 и} z₅. В результате получаем: m=3805; z=29718;

x=2mz=2×3805×29718=226153980;

y=√(61×226153980²+1)=1766319049

Конечно, знатоки существующей ныне теории быстро заметят в этом примере то, что полученные в нём результаты вычислений в точности совпадут с теми, которые можно получить методом Валлиса. Однако для этого им придётся использовать иррациональное число √61, а наш пример с методом Ферма показал, что можно делать вычисления исключительно в рамках арифметики, т.е. только в натуральных числах. Несомненно также, что знатоки без особых усилий догадаются, как получить формулы, показанные в нашем примере. Однако для них будет совсем непросто объяснить, как применять этот метод Ферма в общем случае, ведь из нашего примера совсем не ясно, как можно определить, что конечной целью является решение уравнения 61m₅²– z₅²=243, из которого следует вести вычисления с обратным отсчётом.

Было бы просто превосходно, если бы сегодняшняя наука смогла объяснить метод Ферма во всех деталях, однако даже призрачные надежды на это пока не просматриваются. Более реалистично было бы ожидать, что будут предприняты попытки опровержений данного примера как демонстрации неизвестного науке метода решения проблемы. Тем не менее, ей придётся считаться с тем, что этот пример пока остаётся единственным за всю историю (!!!) подтверждением того, о чём Ферма сообщал в своём письме-завещании. Когда эта тайна будет раскрыта полностью, то все скептики будут посрамлены, и им не останется ничего иного, как признать Ферма более великим, чем все остальные величайшие учёные. Ведь их признавали таковыми главным образом потому, что они создавали теории, настолько трудные для понимания нормальных людей, что они могли только вызывать непомерный ужас у студентов, которым приходится теперь отдуваться за такую науку:

https://www.youtube.com/watch?v=wFz8W2HsjfQ

https://www.youtube.com/watch?v=cUytn2SZ1n4

https://www.youtube.com/watch?v=ZhVNOgaBStY ⁴³

В этом смысле следующий пример решения задачи с применением метода спуска будет особенно любопытен тем, что она была предложена в письме Ферма к Мерсенну в конце 1636 г., т.е. возраст этой задачи составляет уже почти четыре столетия. Доказательство Эйлера [8, 30] было некорректно из-за применения в нём «комплексных чисел». Однако даже исправленная версия Андре Вейля 1983 г. [17] слишком сложна для школьного обучения.

3.4.4. Задача Ферма с возрастом 385 лет

В первоначальном варианте в 1636 г. эта задача была сформулирована так:

Найти два квадрато-квадрата, сумма которых равна квадрато-квадрату, или два куба, сумма которых есть куб.

Эта формулировка была использована оппонентами Ферма как факт того, что Ферма не имел доказательства ВТФ и ограничился только этими двумя частными случаями. Однако само название «Великая теорема Ферма» появилось только после публикации «Арифметики» Диофанта с замечаниями Ферма в 1670 г., т.е. через пять лет после его смерти. Поэтому утверждать, что Ферма заявил о ВТФ в 1637 г., нет никаких оснований.

Первый случай для четвёртой степени мы подробно рассмотрели в Приложении II. Что же касается случая для третьей степени, то представленный нами ниже способ доказательства самого Ферма не оставит никаких шансов решениям этой проблемы Эйлера и Вейля остаться частью науки, поскольку с точки зрения простоты и изящества авторского решения проблемы, они станут просто ненужными.

Чтобы доказать, что не существует два куба, сумма которых есть куб, мы применим простейший подход, основанный на делимости чисел, откуда следует, что в исходном уравнении

a³+b³ = c³ (1)

числа a, b и c могут рассматриваться как взаимно простые, т.е. не имеющие общих делителей, однако в общем случае это не обязательно, поскольку если мы докажем, что уравнение (1) не может иметь решений в любых целых числах, в т.ч. имеющих общие множители, то этим мы докажем, что взаимно простые числа тем более не могут быть решениями исходного уравнения. Тогда мы будем исходить из того, что обе стороны уравнения (1) во всех случаях должны делиться на число c², тогда уравнение (1) можно представить как

c³ = c²(x+y) = a³+b³ (2)

В этом случае легко убедиться, что существует только одна возможность получить решения уравнения (1), если числа c, x, y, а также x+y будут кубами, т.е.

с = x+y = p³+q³= z³; x = p³; y = q³ (3)

Тогда уравнение (1) должно иметь вид:

(z³)³=(z³)²(p³+q³) (4)

Таким образом, мы выяснили, что если существуют числа a, b и c, удовлетворяющие уравнению (1), то должны существовать числа p<a, q<b и z<c, удовлетворяющие уравнению (3)

p³+q³= z³

Если теперь мы применим тот же подход к решению этого уравнения, который мы применили к решению уравнения (1), то мы получим такое же уравнение, только с меньшими числами. Однако поскольку невозможно бесконечно уменьшать натуральные числа , то из этого следует, что решений в целых числах уравнения (1) не существует.

На первый взгляд, мы получили очень простое и вполне убедительное доказательство задачи Ферма методом спуска, которую никто не мог получить таким простым способом в течение 385 лет, и этому можно только радоваться. Однако такой вывод был бы слишком поспешным, т.к. это доказательство на самом деле неверно и может быть опровергнуто самым неожиданным образом. Тем не менее, это опровержение настолько удивительно, что мы не будем здесь его раскрывать, потому что оно открывает путь не только для самого простого доказательства ВТФ, но и автоматически позволяет вывести на самое простое доказательство гипотезы Биэла. Обнародование способа опровержения доказательства, данного выше, вызвало бы настоящую сумятицу в учёном мире, поэтому эту тайну мы включим в число наших загадок (см. Приложение V, п. 41).

Итак, мы продемонстрировали здесь решения задач Ферма (только методом спуска!):

1) Доказательство Основной теоремы арифметики.

2) Доказательство теоремы о единственном решении уравнения

p³=q²+2.

3) Способ доказательства Золотой теоремы Ферма.

4) Способ решения уравнении Архимеда-Ферма Ax²+1=y².

5) Способ доказательства невозможности a³+b³= c³.

6) Доказательство грандиозного открытия Ферма о простых

числах типа 4n+1=a²+b², которое мы изложим в другом

стиле (Приложение IV, рассказ Год 1680).

За прошедшие 350 (!!!) лет после публикации этих задач Ферма, всей существующей науке такой результат не мог даже и присниться!