Читать книгу: «Чудеса арифметики от Пьера Симона де Ферма», страница 5

3. Что такое число?

3.1. Определение понятия числа

Вопрос о сущности понятия числа во все времена был для учёных некоей вещью в себе. Подспудно они, конечно, понимали, что не могут чётко ответить на этот вопрос, но и признаться в этом они тоже не могут, поскольку это плохо отразилось бы на поддержании престижа науки. В чём тут проблема? Да в том, что число во всех случаях должно получаться из других чисел, иначе оно не сможет восприниматься как число. Чтобы понять, например, число 365, нужно сложить три сотни, шесть десятков и пять единиц. Отсюда, следует, что понятие числа не раскладывается на качественно отличные от него компоненты и таким вот обычным для науки способом, т.е. путем анализа проникнуть в тайну его сущности не удаётся.

Учёные, которые задавались вопросом о сущности числа сразу упирались в эту проблему и приходили к выводу, что общего определения понятия числа просто не существует. Но не таков был Пьер Ферма, который подошёл к этой проблеме с другой стороны. Он задался вопросом: «Откуда вообще появляется понятие числа?», и пришёл к выводу о том, что его предшественниками были понятия «больше», «меньше» и «равно» как результаты сравнений некоторых свойств, присущих разным предметам [30].

Если разные предметы сравниваются по некоторому свойству с одним и тем же предметом, то появляется такое понятие как измерение и тогда может быть через измерение и следует выявлять сущность числа? Однако это не так. По отношению к измерению число первично, т.е. если нет чисел, то не может быть и никаких измерений. Понимание сущности числа становится возможно только после установления того, что число неразрывно связано понятием «функция». А вот это понятие определить совсем не сложно:

Функция – это заданная последовательность действий с её аргументами.

В свою очередь, действия не могут существовать сами по себе, т.е. в состав функции, кроме них должны входить компоненты, с которыми эти действия выполняются. Эти компоненты называются «аргументы функции». Отсюда следует и общее определение понятия числа:

Число есть объективная реальность, существующая как счётная величина, которая состоит из аргументов функции и действий между ними.

Например, a + b + c = d, где a, b, c – аргументы, d – счётная величина или числовое значение³².

Чтобы понять, какая пропасть отделяет Пьера Ферма от остального учёного мира, достаточно сравнить это простое определение с тем пониманием, которое есть в сегодняшней науке [13, 29]. А вот понимание, явно присутствующее в научном творчестве Ферма, позволило ему ещё в те далёкие времена достигать результатов, которые для других учёных оказывались либо сопряжены с чрезвычайными трудностями, либо вообще недостижимы.

Можно дать и более широкое определение понятия числа, а именно:

Число есть разновидность данных, представляемых в виде функций.

Это расширенное определение понятия числа выходит за рамки математики, поэтому его можно назвать общим, а предыдущее определение – математическим. Во втором определении нужно ещё разъяснить сущность понятия «данные», однако для науки этот вопрос не менее трудный, чем вопрос о сущности понятия числа³³.

Рису. 30. Пифагор

Из общего определения понятия числа следует истинность знаменитого утверждения Пифагора о том, что всё сущее может отображаться как число. Действительно, если число – это особая разновидность информации, то вот это очень смелое по тем временам утверждение не только обосновано, но и подтверждено современной практикой его применения на компьютерах, где реализуются три известных способа представления данных: числовой, (или оцифрованный), символьный, (или текстовый), и аналоговый (изображения, звук и видео). Все три способа существуют одновременно.

Рис. 31. Готфрид Лейбниц

Поразительно смелое даже по нынешним временам утверждение о том, что мышление есть неосознанный процесс вычислений, высказал ещё в XVII веке Готфрид Лейбниц (Gottfried Leibniz). Под мышлением здесь явно понимается процесс обработки данных, которые во всех случаях могут представляться как числа. Тогда понятно, как появляются вычисления, но понимание сути этого процесса у современной науки пока отсутствует ³⁴.

У всех данных здесь определений понятия числа есть одна общая основа:

Числа существуют объективно в том смысле, что они присутствуют в законах окружающего мира, познавать которые можно только через числа.

Со школьной скамьи все узнают о числах из детской считалки: раз, два три, четыре, пять и т.д. Откуда взялась эта считалка, один Господь ведает. Впрочем, были и попытки объяснить её происхождение с помощью аксиом. Однако происхождение их такое же непонятное, как и считалки. Скорее это похоже на некое подражание «Началам» Евклида, чтобы придать знаниям образ науки и внешнюю видимость солидности и фундаментальности.

Ситуация совсем иная, когда есть математическое определение сущности числа. Тогда для более полного его понимания становятся необходимостью и аксиомы, и считалка. Действительно, данное определение сущности числа включает в себя аргументы, действия и счётную величину. Но аргументы – это тоже числа, и они должны представляться не конкретно каждое из них, а по умолчанию, т.е. в форме общепринятой и неизменной функции, которая называется системой счисления, а она-то никак уже не может появиться без такого понятия как счёт. Вот теперь уже по отношению к счёту, аксиомы оказываются весьма кстати и без них он может появиться разве только от пришельцев. Да, собственно, в действительности это так и было, поскольку такие источники знаний как «Начала» Евклида или «Арифметика» Диофанта созданы явно не нашей, а совсем другой цивилизацией³⁵.

Если аксиомы регламентируют счёт, то они первичны по отношению к нему. Однако нет никакой надобности определять их сущность через введение новых понятий, т.к. смысл любых аксиом как раз в их изначальности т.е. они всегда по сути есть границы знаний. Таким образом, аксиомы получают ещё более основополагающий статус, чем до сих пор, когда они ограничивались лишь обоснованием какой-либо конкретной системы.

В частности, система аксиом, разработанная итальянским математиком Джузеппе Пеано (Giuseppe Peano), очень близко соответствуют решению задачи построения системы счёта, хотя вот это основное их предназначение никак не разъяснялось, видимо, с намёком на обоснование сущности понятия числа. Научное сообщество воспринимало их только как некую «формализацию арифметики», совершенно не замечая, что эти аксиомы ни коим образом не отражают сущность чисел, а только создают основы для их представления по умолчанию, т.е. через счёт.

Рис. 32. Джузеппе Пеано

Если основное содержание аксиом – это определение границ знаний, относящихся к общепринятым способам представления чисел, то их следует выстраивать как из определения сущности понятия числа, так и с целью обеспечения прочности и устойчивости всего здания науки. До сих пор из-за отсутствия такого понимания способов построения основ знаний вопрос о сущности числа никогда даже и не ставился, а только усложнялся и запутывался. Но теперь, когда он проясняется, причём без каких-либо особенных затруднений, вся наука может получить новый и очень мощный импульс для своего развития. И вот тогда именно на такой прочной основе она приобретает способности с невероятной лёгкостью преодолевать такие сложнейшие преграды, которые в прежние времена, когда понимания сущности числа не было, представлялись науке как совершенно неприступные крепости ³⁶.

3.2. Аксиомы арифметики

3.2.1. Аксиомы счёта

Этот путь впервые был проложен в конце XIX столетия аксиомами Пеано³⁷. Мы внесём в них изменения, исходя из нашего понимания сущности числа.

Аксиома 1. Натуральным является число, сложенное из единиц ³⁸.

Аксиома 2. Единица является исходным натуральным числом.

Аксиома 3. Все натуральные числа образуют бесконечный ряд, в котором каждое следующее число образуется путём прибавления к предыдущему числу единицы.

Аксиома 4. Единица не следует ни за каким натуральным числом.

Аксиома 5. Если какое-либо предложение доказано для единицы, (начало индукции), и если из допущения, что оно верно для натурального числа N, вытекает, что оно верно также для следующего за N натурального числа, (индукционное предположение), то это предложение будет верно для всех натуральных чисел.

Аксиома 6. Кроме натуральных могут существовать и другие производные от них числа, но только в том случае, если они обладают всеми без исключения базовыми свойствами натуральных чисел.

Первая аксиома является прямым следствием определения сущности числа, поэтому у Пеано её просто не могло быть. Теперь эта первая аксиома передаёт смысл определения понятия числа всем остальным аксиомам.

Вторая, четвертая и пятая аксиомы сохраняются, как и у Пеано почти без изменений, но из этой новой системы полностью изъята четвертая аксиома Пеано как избыточная. Вторая аксиома имеет тот же смысл, что и первая в списке Пеано, но уточняется, чтобы стать следствием новой первой аксиомы.

Третья аксиома – это новая редакция второй аксиомы Пеано. Понятие натурального ряда дано здесь проще, чем у Пеано, где нужно догадываться о нём через понятие «следующего» числа.

Четвертая аксиома точно такая же, как и третья аксиома Пеано.

Пятая аксиома такая же, как у Пеано, которая считается главным итогом всей системы. По сути, эта аксиома является формулировкой очень ценного для науки метода индукции, который в данном случае позволяет обосновать и построить систему счёта. Однако счёт присутствует в том или ином виде не только в натуральных, но и в любых других числах, следовательно, необходима ещё одна заключительная аксиома.

Шестая аксиома распространяет базовые свойства натуральных чисел на любые производные от них числа, поскольку если окажется, что какие-либо величины, полученные вычислениями из натуральных чисел, противоречат их базовым свойствам, то эти величины не могут относиться к категории чисел.

Вот теперь арифметика получает все предпосылки для того, чтобы иметь статус самой фундаментальной из всех научных дисциплин. С точки зрения сущности счёта всё становится намного проще и понятнее, чем до сих пор. На основе этой обновлённой системы аксиом нет нужды «создавать» одно за другим натуральные числа, а затем «доказывать» для начальных чисел действия сложения и умножения. Теперь достаточно только дать имена этим начальным числам в рамках общепринятой системы счисления.

Если эта система десятичная, то символы от 0 до 9 должны получить статус начальных чисел, сложенных из единиц, в частности: число «один» обозначается как 1=1, число «два» – как 2=1+1, число «три» – как 3=1+1+1 и т.д. до числа «девять». Числа после 9 и до 99 складываются из десятков и единиц, например, 23=(10+10)+(1+1+1) и получают соответствующие имена: «десять», «одиннадцать», «двенадцать» … «девяносто девять». Числа после 99 складываются из сотен, десятков и единиц и т.д. Таким образом, имена только начальных чисел должны быть заранее сосчитаны из единиц. Все остальные числа именуются так, чтобы их величину можно было сосчитать, используя только начальные числа³⁹.

3.2.2. Аксиомы действий

Все арифметические действия входят составной частью в определение сущности числа. В компактном виде они представляются следующим образом:

1. Сложение: n = (1+1…)+(1+1+1…) = (1+1+1+1+1…)

2. Умножение: a+a+a+…+a=a×b=c

3. Возведение в степень: a×a×a×…×a=a^b=c

4. Вычитание: a+b=c → b=c−a

5. Деление: a×b=c → b=c : a

6. Логарифм: a^b = c → b=log_ac

Отсюда можно сформулировать все нужные определения в виде аксиом.

Аксиома 1. Действие сложения нескольких чисел (слагаемых) – это их соединение в одно число (сумму).

Аксиома 2. Все арифметические действия являются либо сложением, либо производными от сложения.

Аксиома 3. Существуют прямые и обратные арифметические действия.

Аксиома 4. Прямые действия – это разновидности сложения. Кроме самого сложения к ним относятся также умножение и возведение в степень.

Аксиома 5. Обратные действия – это вычисление аргументов функций. К ним относятся вычитание, деление и логарифм.

Аксиома 6. Не существуют иные действия с числами, кроме комбинаций из шести арифметических действий ⁴⁰.

3.2.3. Базовые свойства чисел

Следствием аксиом действий являются следующие базовые свойства чисел, обусловленные необходимостью практических вычислений:

1. Наполнение: a+1>a

2. Нейтральность единицы:      a×1=a:1=a

3. Коммутативность: a+b=b+a; ab=ba

4. Ассоциативность: (a+b)+c=a+(b+c); (ab)c=a(bc)

5. Дистрибутивность: (a+b)c=ac+bc

6. Сопряженность:      a=c → a±b=b±c; ab=bc; a:b=c:b; a^b=c^b;

log_ba= log_bc

Эти свойства известны давным-давно как азы начальной школы и до сих пор они воспринимались как элементарные и очевидные. Отсутствие должного понимания происхождения этих свойств из сущности понятия числа стало причиной разрушения науки как целостной системы знаний, которую нужно теперь отстраивать, начиная с азов и сохраняя при этом всё то ценное, что осталось от настоящей науки. Приведённая выше аксиоматика исходит из определения сущности понятия числа и поэтому представляет собой единое целое. Однако этого недостаточно для того, чтобы оградить науку от другой напасти, т.е. чтобы в процессе развития она не утонула в океане собственных изысканий, или не запуталась в сложных переплетениях большого множества разных идей.

В этом смысле нужно очень чётко понимать, что аксиомы не являются утверждениями, принятыми без доказательств. В отличие от теорем, они есть только констатации и ограничения, синтезированные из опыта вычислений, без которых просто никак нельзя обойтись. Иной смысл в базовых теоремах, близких к аксиомам, но доказуемым. К одной из них относится основная или фундаментальная теорема арифметики. Это настолько важная теорема, что её доказательство должно быть максимально надёжным, иначе последствия могут быть непредсказуемыми.

Рис. 33. Пирамиды начальных чисел

3.3. Основная теорема арифметики

3.3.1. Ошибки великих и письмо-завещание Ферма

Самая ранняя из известных версий теоремы дана в «Началах Евклида», книга IX, предложение 14:

Если число будет наименьшим измеряемым <данными> первыми числами, то оно не измерится никаким иным первым числом, кроме первоначально измерявших <его>.

Далее разъясняется: «Пусть число A будет наименьшим измеряемым первыми числами B, C, D; я утверждаю, что A не измерится никаким иным первым числом, кроме B, C, D». Доказательство этой теоремы только на первый взгляд выглядит убедительно, и эта видимость основательности усиливается цепочкой ссылок: IX-14 → VII-30 → VII-20 → VII-4 → VII-2. Однако здесь допущена элементарная и даже очень грубая ошибка. Её суть в следующем:

Пусть A=BCD, где числа B, C, D простые, (первые). Если допустить теперь существование простого E, отличного от B, C, D, и такого, что A=EI, то делается вывод, что в этом случае A=BCD не делится на E. Это последнее утверждение неверно, поскольку теорема ведь ещё не доказана и не исключено, например, BCD=EFGH, где E, F, G, H простые числа, отличные от B, C, D. Тогда A:E=BCD:E=EFGH:E=FGH, т.е. в этом случае станет возможно, что число A может делиться на число E и тогда доказательство теоремы опирается на аргумент, который ещё не доказан, поэтому конечный вывод неверный. Та же ошибка может попасть и в другие теоремы, использующие разложение целых чисел на простые множители. Видимо, из-за архаичной лексики «Начал Евклида», даже такой великий учёный как Эйлер не обратил должного внимания на эту теорему, иначе вряд ли бы он стал использовать на практике «комплексные числа», которые ей не подчиняются.

Такая же история произошла и с Гауссом, который, также не заметил этой теоремы в «Началах» Евклида, но всё же сформулировал её, когда в ней возникла необходимость. Формулировка и доказательство Гаусса следующие:

«Каждое составное число может быть разложено на простые сомножители только одним единственным образом.

Если мы предположим, что составное число A, равное a^αb^βc^γ…, где a,b,c,… обозначают различные простые числа, разложимо на простые сомножители ещё и другим способом, то прежде всего ясно, что в этой второй системе сомножителей не может встречаться других простых чисел, кроме a,b,c,…, т.к. составленное из этих последних число A не может делиться ни на какое другое простое число» [11, 25].

Это почти точное повторение ошибочной аргументации в доказательстве Евклида. Но если эта теорема не доказана, то всё построенное на натуральных числах основание науки рушится, а все следствия из определений и аксиом теряют свою значимость. И как же теперь быть? Ведь если с доказательством теоремы не справились такие гиганты науки как Евклид и Гаусс, то куда уж нам-то грешным. Но выход всё-таки есть, и он указан в одном удивительном документе, называемом «Письмо-завещание Ферма».

Это письмо было отправлено Ферма в августе 1659 г. его давнему другу и бывшему коллеге по парламенту Тулузы королевскому библиотекарю Пьеру де Каркави, от которого его получил известный французский учёный Христиан Гюйгенс (Christiaan Huygens), первым возглавивший созданную в 1666 г. Французскую Академию Наук. Здесь мы приведём только отдельные выдержки из этого existписьма Ферма, которые нас особенно интересуют [9, 36].

«Сводка открытий в науке о числах. …

1. Поскольку обычные методы, изложенные в Книгах, не достаточны для доказательства очень трудных предложений, я нашёл, наконец, для их решения совершенно особый путь. Я назвал этот способ доказательства бесконечным или неопределённым спуском. Сначала я пользовался им только для доказательства отрицательных предложений, как, например: …что не существует прямоугольного треугольника в числах, площадь которого была бы квадратом». Подробности см. Приложение II.

Наукой о числах названа арифметика и дальнейшее содержание письма не оставляет в этом никаких сомнений. Именно с арифметики начинаются не только математические, но и все другие науки. А в самой арифметике метод спуска один из основополагающих. Далее даются примеры задач, решение которых без этого метода не только очень затруднено, но иногда и вообще вряд ли возможно. Здесь мы назовём только некоторые из этих примеров.

«2. Долгое время я не мог приложить мой метод к утвердительным предложениям, потому что обходы и окольные пути для достижения цели гораздо более трудны, чем те, которые послужили мне для отрицательных предложений. Поэтому, когда мне надо было доказать, что каждое простое число, которое превосходит на 1 кратное четырех, состоит из <суммы> двух квадратов, я был в сильнейшем затруднении. Но, наконец, многократно повторенные размышления пролили свет, которого мне не доставало, и утвердительное предложение стало возможным трактовать моим методом с помощью некоторых новых принципов, которые необходимо было к ним присоединить. Этот прогресс в моих рассуждениях для случая утвердительных предложений таков: если некоторое простое число, которое превосходит на единицу кратное 4-х, не состоит из двух квадратов, то имеется простое число той же природы, меньшее данного, а затем третье, ещё меньшее, и т.д. спускаясь до тех пор, пока не придёте к числу 5, которое является наименьшим из всех чисел этой природы. Оно, следовательно, не может состоять из двух квадратов, что, однако имеет место. Отсюда можно заключить путём доказательства от противного, что все простые числа этой природы должны состоять из двух квадратов».

Эту теорему Ферма своим способом впервые доказал Эйлер в 1760 г. [38], а в рамках очень сложной «Арифметики вычетов» Гаусса эта теорема доказывается в одном абзаце [23]. Однако повторить доказательство самого Ферма никому так и не удалось. «… 3. Имеется бесконечно много вопросов такого рода, но существуют и другие, которые требуют новых принципов для применения к ним метода спуска… Таков следующий вопрос, который Баше, как он сознаётся в своём комментарии к Диофанту, не смог доказать. По этому поводу Декарт в своих письмах сделал такое же заявление, признаваясь, что считает его настолько трудным, что не видит никакого пути для его решения. Каждое число есть квадрат или состоит из двух, трех или четырех квадратов».

Ещё раньше 22 года назад в октябре 1636 года письмом к Мерсенну Ферма сообщал о той же задаче как о своём открытии, но в общем виде, т.е. для любых многоугольных чисел (напр., треугольников, квадратов, пятиугольников и т.д.). Впоследствии он даже назвал эту теорему золотой. Следовательно, метод спуска был открыт им в самом начале его исследований по арифметике. К моменту написания письма-завещания Ферма уже знал от Каркави, что вопрос о создании Французской Академии наук практически решён и ему нужно лишь дождаться окончания строительства здания, чтобы сбылась мечта всей его жизни стать профессиональным учёным, причём в ранге академика. Гюйгенсу было поручено собрать материалы первых академических изданий. Для них Ферма предлагал открытый им метод спуска и решение на его основе конкретных арифметических задач.

Однако о том, что эти задачи очень трудны, мало кто знал и Ферма было понятно, что опубликуй он их решения, то они вообще не произведут никакого впечатления. У него уже был такой опыт и теперь он приготовил настоящий сюрприз. Для тех, кто не оценит по достоинству его решения, он предложит решить ещё одну задачу. Это основная теорема арифметики, имеющая особую значимость для всей науки, поскольку без неё вся теория теряет силу. Ферма обнаружил в доказательстве Евклида ошибку и пришёл к выводу, что доказать эту теорему без применения метода спуска чрезвычайно трудно, если вообще возможно. Однако теперь-то мы можем раскрыть и эту тайну с помощью наших возможностей заглянуть в тайник Ферма с «еретическими письменами» и вернуть его утраченное доказательство науке в виде представленной ниже реконструкции.