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1.3.2 Ejercicios
En los siguientes ejercicios, resuelva la ecuación diferencial dada, y dé un intervalo I en el cual la solución esté definida. Cuando se dé una condición inicial, encuentre la solución particular que la satisface.
1. xy′ + 2y = 8x2
2. ydx + (3x − xy + 2)dy = 0
3. y′ = x − 2y cot 2x
23. y′ + 2xy = 1, y(0) = 1
24. 2xy′ = y + 2x cos x, y(1) = 0
25. y″ + 3y′ = 2
26. y″ − a2y = 0, donde a es constante
27. xy″ + 2y′ = 6x
28. yy″ = (y′)2, donde y y y′ son positivos
29. y″ − (y′)2 = 0, donde y y y′ son positivos
30. y″ = 2y(y′)3
31. La ecuación diferencial
y′ = a(x)y2 + b(x)y + c(x)
se llama Ecuación de Ricatti. Suponga que se conoce una solución particular y1(x) de esta ecuación. Demuestre que las sustituciones
a) 
la transforma en la ecuación lineal u′ + (b + 2ay1)u + a = 0.
b) y = y1 + u la transforma en la Ecuación de Bernoulli
u′ = (b + 2ay1)u + au2.
32. Resuelva la ecuación diferencial y′ = 1 − 2xy + x2 + y2, si y1 = x es una solución de la ecuación.
Encuentre la solución general y la solución singular de cada ecuación dada.
33. y = xy′ + ln y′
35. (y − xy′)2 − (y′)2 = 1
36. y = xy′ − (y′)3
37. Demuestre que la ecuación
y = y′ tan x − (y′)2 sec2 x
se reduce, con la sustitución z = sen x, a la Ecuación de Clairaut. Resuelva la ecuación resultante.
1.4 Ecuaciones diferenciales exactas
En esta sección introducimos un método de resolución de la ecuación diferencial de primer orden
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
en el caso especial que dicha ecuación representa la diferencial exacta de una función. Recordemos que la diferencial total de una función z = u(x, y) está dada por
Cuando una expresión es la diferencial total de alguna función de x y y, se llama diferencial exacta.
Frecuentemente usaremos subíndices para denotar las derivadas parciales, esto es, ux(x, y) = 
.
Definición 1.4.1. La ecuación diferencial
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
es exacta si existe una función u = u(x, y) tal que
Para probar que una ecuación diferencial dada es exacta, el siguiente teorema da un criterio para determinar la exactitud.
Teorema 1.4.1. La ecuación diferencial
es exacta si y sólo si,
siempre que las dos funciones M(x, y) y N(x, y) sean funciones continuas y tengan derivadas parciales continuas en el rectángulo Ω = {(x, y) : a < x < b, c < y < d}.
Demostración. Supongamos que la ecuación diferencial 1.4.1 es exacta y veamos que se cumpla 1.4.2. En efecto, como la ecuación es exacta, existe, por definición, una función u = u(x, y) tal que
puesto que
esto, en virtud de que u tiene segundas derivadas parciales continuas en Ω.
La otra implicación quedará probada si podemos encontrar una función u = u(x, y) tal que
Para ello, integramos la ecuación ux = M(x, y) con respecto a x manteniendo y constante:
donde g(y) es una constante que en el caso más general posible dependerá de y, ya que la integración se realiza con respecto a x. Para determinar g(y), derivamos la última expresión respecto a y:
luego,
Puesto que g es una función que depende śolo de y, entonces la derivada g′(y) es independiente de también x. En consecuencia,
Verifiquemos esto último.
en virtud de 1.4.2.
Finalmente, integramos g′(y) con respecto a y para obtener g(y); luego, sustituimos este resultado en 1.4.3 y así, obtenemos la solución u(x, y) = c.
Para una ecuación diferencial exacta
du = M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0,
la solución general está dada por u(x, y) = c, donde c es una constante arbitraria.
Ejemplo 1.4.1. Determine si la ecuación diferencial
(3xy4 + x)dx + (6x2y3 − 2y2 + 7)dy = 0,
es exacta. Si lo es, encuentre su solución.
Solución
Puesto que
M(x, y) = 3xy4 + x, N(x, y) = 6x2y3 − 2y2 + 7
tenemos
Luego, la ecuación es exacta.
Para determinar su solución, sabemos que existe una función u = u(x, y) tal que
Integramos la ecuación (*) con respecto a x teniendo y constante:
Entonces,
para determinar la función g(y) debemos integrar esta última expresión con respecto a la variable y, con lo cual obtenemos que
la solución general es, entonces,
que también puede escribirse como
9x2y4 + 6x2 − 4y3 + 42y = k
Ejemplo 1.4.2. Determine si la ecuación diferencial
(2x3 − xy2 − 2y + 3)dx − (x2y + 2x)dy = 0
es exacta. Si lo es, resuélvala con la condición inicial y(2) = 1.
Solución
En este caso,
y así, la ecuación es exacta. Luego, existe una función u = u(x, y) tal que
Integramos la ecuación (**) con respecto a y teniendo x constante:
Entonces,
con lo cual concluimos que
Integrando con respecto a x obtenemos
La solución general es
sustituyendo la condición inicial y = 1 cuando x = 2, tenemos que
es la solución particular
1.4.1 Factores integrantes
Si la ecuación diferencial
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
no es exacta, puede ser posible convertirla en exacta multiplicándola por una función apropiada μ = μ(x, y). Tal función se llama un factor integrante o factor de integración. Por ejemplo, la ecuación ydx + 2xdy = 0 no es exacta, puesto que My = 1 y Nx = 2, pero si la multiplicamos por μ(x, y) = y, la ecuación resultante y2dx + 2xydy = 0 es exacta. En general, tenemos la siguiente definición:
Definición 1.4.2. Un factor integrante para la ecuación diferencial
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
es una función μ = μ(x, y), no nula, tal que la ecuación
μ(x, y)M(x, y)dx + μ(x, y)N(x, y)dy = 0
es exacta. Esto es,
Aunque se puede probar que toda ecuación diferencial de la forma 1.4.1 admite un factor integrante, no se conoce un método general que sea útil para encontrarlo. Sin embargo, existen dos clases de ecuaciones diferenciales cuyos factores integrantes pueden encontrarse de manera sistemática: son aquellas que poseen factores integrantes que śolo dependen de x o de y.
Supongamos que μ = μ(x) es un factor integrante de la ecuación diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0. Entonces,
μ(x) M(x, y)dx + μ(x) N(x, y)dy = 0
es exacta, y tendremos
Como el miembro del lado izquierdo depende solamente de x, también lo será el del derecho. Entonces si hacemos
tenemos
y al resolver esta ecuación separable obtenemos
Éste es el factor integrante buscado. En el caso de que μ = μ(y), obtenemos un resultado similar. En resumen, tenemos el siguiente teorema.
Teorema 1.4.2. Dada la ecuación diferencial
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0,
1. Si
entonces
es un factor de integración.
2. Si
entonces
es un factor de integración.
Note que si h(x) o r(y) son constantes, el teorema sigue siendo válido. También debemos tener en cuenta que una misma ecuación diferencial puede tener varios factores integrantes (vea el Ejercicio 22 de la Sección 1.4.1).
Ejemplo 1.4.3. Resuelva la ecuación diferencial
(1 − 2y3)dx + (3xy2 + x3)dy = 0
con la condición inicial y(1) = 1.
Solución
En este caso,
M(x, y) = 1 − 2y3 y N(x, y) = 3xy2 + x3,
y en consecuencia,
luego, la ecuación no es exacta. Ahora, observamos que
Luego, el factor integrante es
Por lo tanto, la ecuación diferencial
es exacta. Luego, existe una función u = u(x, y) tal que
Integramos con respecto a y la última ecuación y obtenemos
de otro lado,
de donde g′(x) = 1/x3, e integrando obtenemos 
Luego, la solución general es
Después de utilizar las condiciones iniciales, obtenemos c = 3/2, y por lo tanto la solución particular es
Ejemplo 1.4.4. Resuelva la ecuación diferencial
y2dx + (xy − 1)dy = 0.
Solución
Como M(x, y) = y2 y N(x, y) = xy−1, entonces My = 2y y Nx = y; en consecuencia, la ecuación no es exacta. Por lo tanto, busquemos un factor integrante sugerido por el Teorema 1.4.2. Esto es,
Luego, el factor de integración es
Para facilitar la solución, tomemos y > 0; entonces μ(y) = 1/y. Así, la ecuación
es exacta. De modo que existe una función u = u(x, y) tal que ux(x, y) = y y uy(x, y) = x − 1/y. Integrando con respecto a x la primera de estas ecuaciones tenemos
u(x, y) = xy + g(y),
pero
o sea, 
, y al integrar tenemos g(y) = − ln y + c1. Por lo tanto, la solución general es
u(x, y) = xy − ln y = c.
Observación 1.4.1. Si la ecuación diferencial
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
se puede transformar en la ecuación
xa(p y dx + q x dy) + yb(r y dx + s x dy) = 0,
donde p, q, r, y s son constantes, entonces μ(x, y) = xmyn es un factor de integración para la ecuación dada inicialmente, siempre que ps − qr ≠ 0, con m y n constantes por determinar. El siguiente ejemplo ilustra este método.
Ejemplo 1.4.5. Encuentre la solución a la ecuación diferencial
(3y4 + 4xy)dx + (5xy3 + 2x2)dy = 0.
Solución
Esta ecuación no es exacta (verifíquelo), y no es aplicable el Teorema 1.4.2. Sin embargo, agrupando términos de igual grado y sacando factor común, obtenemos
(3y4dx + 5xy3dy) + (4xydx + 2x2dy) = 0 y3(3ydx + 5xdy) + x(4ydx + 2xdy) = 0.
Según la observación anterior, μ(x, y) = xmyn es un factor integrante, con m y n constantes por determinar. En consecuencia, la ecuación
xmyn(3y4 + 4xy)dx + xmyn(5xy3 + 2x2)dy = 0
es exacta cuando
Al igualar términos semejantes, llegamos al sistema de ecuaciones
3(n + 4) = 5(m + 1) y 4(n + 1) = 2(m + 2)
o equivalentemente
5m − 3n = 7 2m − 4n = 0,
y al resolver dicho sistema encontramos m = 2 y n = 1. Por lo tanto, μ(x, y) = x2y es el factor integrante buscado. Después de realizar algunas manipulaciones algebraicas, como en los ejemplos anteriores, encontramos la solución general
u(x, y) = x3y2(x + y3) = c.
1.4.2 Ejercicios
En los siguientes ejercicios determine si la ecuación diferencial es exacta y resuélvala. Si no lo es, encuentre un factor integrante para obtener su solución.
1. (3x3 + 4xy)dx + (2x2 + 2y)dy = 0
2. (2x cos y + 3x2y)dx + (x3 − x2sen y − y)dy = 0, y(0) = 2
3. (3x + 2y)dx + (2x + y)dy = 0
4. (y sec2 x + sec x tan x)dx + (tan x + 2y)dy = 0
5. y(2sen x cos x+ysen x)dx+(sen2 x−2y cos x)dy = 0, y(0) = 3
6. (2xy − 3)dx + (x2 + 4y)dy = 0, y(1) = 2
7. 2xydx + (x2 − 1)dy = 0
8. (e2y − y cos xy)dx + (2xe2y − x cos xy + 2y)dy = 0
9. (x + y)dx + x ln xdy = 0, x > 0
10. 6xydx + (4y + 9x2)dy = 0
11. y(x + y + 1)dx + (x + 2y)dy = 0
12. y2 cos xdx + (4 + 5ysen x)dy = 0
13. (4x + 3y3)dx + 3xy2dy = 0
14. (4x2 + 3 cos y)dx − x sen ydy = 0
15. (4xy2 + y)dx + (6y3 − x)dy = 0
17. (x2y + y2)dx − x3dy = 0
18. (4x2y + 2y2)dx + (3x3 + 4xy)dy = 0
19. (3y2 + 5x2y)dx + (3xy + 2x3)dy = 0
20. (7x4y − 3y8)dx + (2x5 − 9xy7)dy = 0
21. (3y2 + 10xy)dx + (5xy + 12x2)dy = 0
22. Compruebe que 
son todos factores integrantes de la ecuación diferencial ydx − xdy = 0
23. Compruebe que la ecuación diferencial
(axy2 + by)dx + (bx2y + ax)dy = 0
es exacta si a = b. Si a ≠ b, muestre que μ(x, y) = xmyn es un factor integrante encontrando m y n.
En los siguientes ejercicios obtenga una función M(x, y) o N(x, y), según sea el caso, para que la ecuación diferencial sea exacta.
Encuentre el valor de la constante k para el cual las siguientes ecuaciones son exactas; hecho esto, resuélvalas para este valor de k.
28. (xy2 + kx2y)dx + (x3 + x2y)dy = 0
29. (ye2xy + x)dx + kxe2xydy = 0
30. (6xy3 + cos y)dx + (kx2y2 − x sen y)dy = 0
31. Pruebe que si
donde z = xy, entonces la ecuación diferencial Mdx + Ndy = 0 tiene un factor de integración de la forma μ = μ(xy).
32. Muestre que la ecuación diferencial
(y3 + xy2 + y)dx + (x3 + x2y + x)dy = 0
no es exacta. Aplicando el ejercicio anterior, encuentre un factor integrante de la forma μ = μ(xy) para resolver la ecuación.
1.5 Aplicaciones
Terminamos este capítulo presentando algunas de las tantas aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden.
Uno de los modelos matemáticos más comunes para ciertos fenómenos físicos o biológicos es el modelo exponencial, el cual supone que la razón de cambio de una cantidad x en el instante t es proporcional a su valor en ese instante, esto es,
donde k es una constante de proporcionalidad.
Si consideramos el caso en el cual k > 0, por separación de variables obtenemos
x = c ekt,
y la solución al problema de valor inicial es
Como las soluciones de x′ = k x son funciones exponenciales, una cantidad x que satisface esta ecuación crece en forma exponencial. La Figura 1.5 muestra el caso en el cual k > 0.
Figura 1.5. Función y = cekt c > 0, k > 0
Cuando k < 0 se presenta el fenómeno de decaimiento, ya que la función posee derivada negativa y tenemos entonces una función decreciente para todo valor de x. La Figura 1.6 ilustra este tipo de procesos.
Figura 1.6. Función y = cekt c > 0, k < 0
1.5.1 Desintegración radiactiva
La desintegración de una sustancia radiactiva es un proceso complicado, pero los experimentos indican que la tasa de cambio es proporcional a la cantidad de materia en cada instante. Así, si q = q(t) es la cantidad de sustancia radiactiva presente en un instante dado t, se tiene entonces
donde k es una constante positiva y el signo menos indica que la cantidad q(t) decrece con el tiempo. Para resolver la ecuación de desintegración, separamos las variables y obtenemos
q(t) = c e−kt;
si q0 = q(0) es la cantidad inicial de sustancia, entonces al sustituir estos valores en esta solución general obtenemos
q(t) = q0 e−kt.
En la desintegración radiactiva existe una constante empírica que da una cierta idea de la tasa de desintegración de la sustancia; esta constante se llama la vida media y se denota por τ. La vida media de un elemento radiactivo es el tiempo necesario para que la mitad de él se desintegre. Para encontrar la relación entre k y τ, ponemos t = τ y q = 
en la ecuación q(t) = q0 e−kt, esto es, = = q0e−kτ.
Note que el modelo de desintegración radiactivo es análogo al modelo de población exponencial con índice de mortalidad constante, pero en el que no ocurren nacimientos.
Ejemplo 1.5.1. En una reacción química, un cierto compuesto se transforma en otra sustancia a un ritmo proporcional a la cantidad no transformada. Si había inicialmente 20 g de la sustancia original y al cabo de 1 hora hay 16 g, determine el instante en el que se habrá transformado el 75 % de dicho compuesto. Encuentre la vida media del compuesto.
Solución
Sea q = q(t) la cantidad de compuesto en cualquier instante. Entonces el problema de valor inicial que modela esta situación es
Al resolver la ecuación, por separación de variables, con esa condición encontramos
q(t) = 20 e−kt.
Para determinar la constante k utilizamos la información adicional, q = 16 cuando t = 1, por lo que k = − ln(4/5) = ln(5/4). Ahora, el 75 % de la sustancia transformada equivale al 25 % de lo no transformado, o sea a 5 g; en consecuencia, para encontrar el tiempo estimado, resolvemos la ecuación 5 = 20 eln(4/5)t, de la cual obtenemos t = 6, 21 horas. La vida media de la sustancia es 
≈ 3, 10 horas.
Ejemplo 1.5.2. Un arqueólogo encontró un fósil en el que se ha desintegrado el 10 % de los núcleos radiactivos originales. Sabiendo que la vida media del carbono 14 es de 5700 años, determine la edad del fósil.
Solución
Para encontrar la edad del fósil, utilizamos el modelo radiactivo, esto es, q = q0 e−kt, donde 
. De otro lado, el 90 % de los núcleos radiactivos aún presentes es 0,9 y q0 = 1; con esta información tenemos 
, de donde
Por lo tanto, la muestra tiene unos 866 años.
Ejemplo 1.5.3. Si unas vacas lecheras comen heno que contenga mucho yodo 131, su leche no se podrá beber. Si una tonelada de heno contiene 10 veces la cantidad máxima permitida de yodo 131, ¿cúantos días deberá estar almacenado el heno antes de que se le pueda dar de comer a las vacas?
Solución
Sea y0 la cantidad de yodo 131 presente en el heno. Debido a que es un problema de desintegración radiactiva, la solución de la ecuación diferencial 
da la cantidad de yodo en cualquier instante, esto es,
y(t) = y0 e−kt,
donde t se mide en días. La vida media del yodo 131 es de 8 días; luego, 
. Finalmente, encontremos t tal que 
, esto es,
resolviendo para t, encontramos
Ejemplo 1.5.4. La estructura molecular del azúcar cambia durante su refinación en la fase conocida como inversión. En el proceso, la razón de cambio de la cantidad de azúcar es proporcional a la cantidad restante. Si 1000 kg de azúcar se reducen a 800 kg en 10 horas, ¿qúe cantidad quedará al cabo de otras 10 horas?
Solución
Sea A = A(t) la cantidad de azúcar no alterado. Puesto que la tasa de inversión es proporcional a A, entonces la ecuación diferencial y la condición inicial son
La solución de este problema de valor inicial es
A = A0 e−kt = 1000 e−kt.
Puesto que A = 800 cuando t = 10, concluimos que 800 = 1000 e−10k, de donde obtenemos 
. Por lo tanto, la cantidad de azúcar en cualquier instante es
Al cabo de otras 10 horas la cantidad de azúcar es
A(20) = 1000 exp (2 ln(4/5)) = 640 kg.
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