Читать книгу: «Ecuaciones diferenciales», страница 2
1.1.1 Ejercicios
En cada uno de los siguientes ejercicios, determine si la ecuación diferencial es ordinaria o parcial, lineal o no lineal, e indique su orden y grado (cuando tenga sentido).
1. y′+ 5xy = x
2. y″+ 2y′+ 6y = 1 + ex
3. y″+ 3y′+ 8y2 = 0
4. yy′+ 3x = e2x
5. y″+ 3 sen y = x2
14. y′′′+ x3y′ − (cos2 x)y = x2 + 1
En los siguientes ejercicios, determine si la correspondiente función representa una solución de la ecuación diferencial dada.
Encuentre la solución particular que satisface y(2) = 2
21. xy′ − 3y = 0, y = cx3
Encuentre la solución particular que cumple y(−3) = 2.
22. xy′+ y = 0, y = c/x
Encuentre la solución particular que satisface y(1) = 2
23. y″+ 9y = 0, y = c1sen 3x + c2 cos 3x
Encuentre la solución particular que satisface y(π/6) = 2 y y′(π/6) = 1
24. xy″+ y′= 0, y = c1 + c2 ln x
Encuentre la solución particular que cumple y(1) = 5 y y′(1) = 1/2
En cada uno de los siguientes ejercicios, determine si el Teorema de existencia y unicidad garantiza o no la existencia y unicidad de una solución para el problema de valor inicial dado.
1.2 Separación de variables
La ecuación diferencial de primer orden
se puede escribir de manera equivalente en la forma diferencial
En el caso particular que M(x, y) = M(x) y N(x, y) = N(y), la ecuación 1.2.1 se reduce a la forma
y decimos que la ecuación es de variables separables. Ésta es la técnica más simple para resolver una ecuación diferencial de primer orden.
La solución general es obtenida por integración directa:
donde c es una constante arbitraria. En efecto, si y = u(x) es una solución de 1.2.2, entonces
Si M y N son funciones continuas, podemos integrar directamente para obtener
escribiendo la segunda integral en términos de y nuevamente, obtenemos la solución deseada.
Ejemplo 1.2.1. Resuelva el problema de valor inicial
Solución
Al separar variables, obtenemos xdx + ydy = 0; integrando obtenemos
o de manera equivalente x2 + y2 = c2, donde c2 = 2c1. La solución está dada en forma implícita en términos de x. Si despejamos y, obtenemos la solución en forma explícita, esto es, y = ±
, si |x| ≤ c. De estas dos soluciones escogemos y = , la cual satisface la condición inicial y(0) = 1, y en consecuencia, c = 1. Por lo tanto, la solución particular buscada es y = 
, con |x| ≤ 1.
Ejemplo 1.2.2. Resuelva el problema de valor inicial
(x2 + 1)y′+ y2 + 1 = 0, y(0) = 
.
Solución
Al separar variables obtenemos
integrando obtenemos
arctan y + arctan x = c.
Tomando la tangente de cada miembro, y teniendo en cuenta que tan(arctan α) = α y usando la identidad
llegamos a la ecuación
ahora, cuando x = 0, y = , y al sustituir en la última ecuación obtenemos k = ; en consecuencia, la solución particular es
o en forma equivalente,
la cual corresponde a la solución particular pedida.
Ejemplo 1.2.3. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial
(x2 + 9)y′= 2xy,
o en forma equivalente
(x2 + 9)dy = 2xydx.
Solución
Dividimos por (x2 + 9)y a fin de obtener
integrando obtenemos
ln |y| = ln(x2 + 9) + c1.
En este caso resulta más conveniente poner c1 = ln |c| y escribir
ln |y| = ln(x2 + 9) + ln |c| = ln |c(x2 + 9)|,
con lo cual obtenemos la solución y = c(x2 + 9).
Ejemplo 1.2.4. Resuelva la ecuación diferencial
Solución
Al separar variables obtenemos
Integrando obtenemos
Ejemplo 1.2.5. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial
2xy(1 + y2)dx − (1 + x2)dy = 0.
Solución
Separamos las variables dividiendo la ecuación por y(1 + y2)(1 + x2) y llegamos a la ecuación
integrando y simplificando obtenemos
La segunda integral se resolvió aplicando fracciones parciales:
o en forma equivalente, A(1 + y2) + (B + Cy)y = 1, de donde A = 1 (término independiente), B = 0 (coeficiente de y) y A + C = 0 (coeficientes de y2). Así, A = 1 y C = −1. En consecuencia,
Si ponemos la constante c1 = ln c, en la ecuación (*), y aplicamos propiedades de los logaritmos, se tiene entonces
Ésta es una solución general implícita de la ecuación diferencial dada.
Nota 1.2.1. La transformación de una ecuación diferencial en otra que tiene las variables separadas puede involucrar divisiones por cero. Como nuestro objetivo es que el estudiante adquiera destreza en las técnicas para obtener soluciones de ecuaciones diferenciales, es aconsejable ignorar un poco este molesto hecho. Sin embargo, en problemas que surgen de situaciones reales, es deseable un análisis completo además de una investigación de las soluciones en esos valores para los cuales una división por cero se pudo haber hecho.
En el siguiente ejemplo hacemos este análisis.
Ejemplo 1.2.6. Resuelva la ecuación diferencial
xdy − (y + 1)dx = 0.
Solución
Al dividir por x(1+y), la ecuación se transforma en una de variables separables
al integrar obtenemos
ln |1 + y| − ln |x| = ln |c|,
o equivalentemente
1 + y = cx.
Ahora bien, x(1 + y) = 0 en x = 0 y y = −1. En x = 0, la solución es 1 + y = 0; y en y = −1, la solución es cx = 0. Si sustituimos cada condición en la ecuación diferencial dada, encontramos que ésta es satisfecha, y la solución es válida en ese punto. Observe que ambas condiciones producen el mismo punto (0, −1).
1.2.1 Ecuaciones que se reducen a separables
No todas las ecuaciones diferenciales de primer orden son de variable separable. Sin embargo, algunas que no lo son pueden hacerse separables mediante un cambio de variable. Esto es válido para ecuaciones diferenciales de la forma
Estas ecuaciones se llaman homogéneas. La ecuación diferencial de primer orden y′= f(x, y) es homogénea si f(x, y) se puede escribir como g(y/x), donde g = g(u) es una función de una sola variable. Por ejemplo,
es homogénea, puesto que g(u) = u2 + u − 1, donde u = y/x.
Si hacemos las sustituciones
entonces la ecuación 1.2.3 se transforma en la ecuación
la cual es separable. Se resuelve esta última ecuación, y reemplazando u = y/x, obtenemos la solución general de 1.2.3. Note también que podemos hacer la sustitución u = x/y y luego proceder de manera igual.
Observación 1.2.1. Antes de continuar, es bueno hacer la siguiente aclaración: la definición de ecuación homogénea dada aquí no es la misma que la definición dada en la Sección 1.4.1, donde dijimos que la ecuación lineal es homogénea (véase 1.1.3) si h(x) = 0. Fuera de esta sección, cuando hablemos de homogénea, es en el último sentido.
Ejemplo 1.2.7. Resuelva la ecuación diferencial
2xyy′+ x2 = y2.
Solución
Para transformar esta ecuación en otra que tenga la forma y/x, dividimos por x2. La ecuación diferencial resultante es
Con las sustituciones descritas más arriba,
u = y/x, y = ux, y′= u + xu′,
llegamos a la ecuación
2u(u + xu′) + 1 = u2,
y al separar variables obtenemos
Integrando
obtenemos ln(1 + u2) + ln |x| = ln c, o de manera equivalente (1 + u2)x = c. Como u = y/x, obtenemos finalmente
Esta es una solución general implícita de la ecuación diferencial dada.
Ejemplo 1.2.8. Resuelva el problema de valor inicial
Solución
Si dividimos esta ecuación por x obtenemos
Como en la condición inicial x = 1, entonces consideramos x > 0, y así, x = 
. En consecuencia,
Haciendo la sustitución 
obtenemos
de donde
Separamos variables:
Después de realizar las integrales obtenemos
sen−1 u = ln x + c.
Como u = y/x, entonces la solución general de la ecuación diferencial es
Para determinar el valor de la constante c, utilizamos la condición inicial y = 0 cuando x = 1, con lo cual obtenemos que c = 0, y por lo tanto,
y = x sen(ln x)
es la solución particular de la ecuación diferencial dada.
1.2.2 Ejercicios
En los siguientes ejercicios, resuelva la ecuación diferencial dada.
1. y′= (1 + x) (1 + y2)
2. xln xdy − ydx = 0
3. sen 2x dy = y cos 2x dx
4. (1 − cos θ) dr = r senθ dθ
30. Demuestre que una ecuación diferencial de la forma
y′= f (ax + by + c)
puede reducirse a una ecuación separable haciendo
u = ax + by + c.
31. Demuestre que si ps − qr ≠ 0, entonces existen constantes h y k tales que las sustituciones x = u + h y y = v + k transforman la ecuación diferencial
en la ecuación
Utilice el ejercicio 31 para resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
1.3 Ecuación lineal de primer orden
La ecuación diferencial
a(x) y′ + b(x) y = g(x)
es una ecuación lineal de primer orden, donde a(x), b(x) y g(x) son funciones continuas en un intervalo I.
Si a(x) ≠ 0, la ecuación diferencial puede ser expresada en la forma estándar
donde 
son ambas funciones continuas en un intervalo I.
Para resolver 1.3.1, primero tratemos la ecuación homogénea
Observemos que y = 0 es una solución: se llama la solución trivial. Las soluciones no triviales pueden ser encontradas por separación de variables:
integrando se tiene
Note que si c = 0, entonces obtenemos la solución ya conocida, y = 0. Luego, 1.3.3 es válida para todo valor de c, es decir, es la solución general de 1.3.2. La solución 1.3.3 puede ser expresada también como
ye∫p(x)dx = c.
Ahora observemos lo siguiente:
En consecuencia, si multiplicamos a ambos lados de 1.3.1 por e∫p(x)dx, entonces la ecuación resultante la podemos escribir como
y al integrar a ambos lados tenemos
al despejar y obtenemos
Por lo tanto, tenemos el siguiente teorema.
Teorema 1.3.1. Si las funciones p(x) y q(x) son continuas en un intervalo dado I, entonces la solución general de la ecuación lineal de primer orden
y′ + p(x)y = q(x)
en I, está dada por
No es necesario memorizar la fórmula 1.3.4; en su lugar, es más fácil usar el método descrito anteriormente con el cual se obtuvo dicha fórmula en cada problema particular.
La expresión e∫p(x)dx se llama factor de integración de la ecuación lineal de primer orden.
En resumen, para resolver una ecuación lineal de primer orden, procedemos de la siguiente manera:
Primero escribimos la ecuación en la forma
y′ + p(x)y = q(x).
Luego multiplicamos la ecuación por el factor de integración e∫p(x)dx.
Por último, la ecuación resultante la escribimos como
Al integrar, obtenemos la solución general 1.3.4.
Note el siguiente hecho: si yp es una solución particular de la ecuación lineal no homogénea
y′ + p(x)y = q(x)
y yh es la correspondiente solución de la ecuación homogénea, entonces la solución general de la ecuación no homogénea está dada por
y = yh + yp.
Ejemplo 1.3.1. Resuelva la ecuación lineal
y′ + 3x2y = x2, y(0) = 1.
Solución
La ecuación tiene la forma de 1.3.1 con p(x) = 3x2 y q(x) = x2. El factor de integración es
Al multiplicar la ecuación dada por ex3 obtenemos
al integrar y despejar y llegamos a
Con las condiciones iniciales y = 1 cuando x = 0, encontramos c = 2/3; luego,
es la solución particular pedida.
Ejemplo 1.3.2. Resuelva la ecuación diferencial
x2y′ + 6xy + 4x4 = 0, (x > 0).
Solución
Debemos expresar la ecuación dada en la forma estándar 1.3.1; para ello dividimos por x2. La ecuación resultante es
de donde p(x) = 6/x y q(x) = −4x2. En consecuencia, el factor de integración es
e6 ∫ dx/x = eln x6 = x6.
Al multiplicar la ecuación por el factor de integración tenemos
como resultado de la integración, finalmente obtenemos que
es la solución general de la ecuación diferencial.
Ejemplo 1.3.3. Resuelva la ecuación lineal
y′ + y tan x = 2x cos x + sec x, 0 < x < π/2.
Solución
La ecuación ya está en la forma 1.3.1 con p(x) = tan x y q(x) = 2x cos x + sec x. El factor de integración es entonces
al integrar y despejar y obtenemos la solución general
y = (x2 + c) cos x + sen x, 0 < x < π/2.
Ejemplo 1.3.4. Resuelva la ecuación diferencial
ydx + (x + 2xy2 − 2y)dy = 0,
y dé un intervalo donde la solución general esté definida.
Solución
Expresemos la ecuación en la forma 1.3.1:
(x + 2xy2 − 2y)dy = −ydx,
o de manera equivalente
esta ecuación no es lineal en la variable y, pero si tomamos la ecuación en la forma
la ecuación resultante es lineal en la variable x y puede escribirse en la forma
En este caso, p(y) = 1/y + 2y y q(y) = 2. De esto deducimos que el factor de integración para y > 0 es
Por lo tanto,
al integrar y despejar x obtenemos que
es la solución general del problema.
Ejemplo 1.3.5. Encuentre una solución continua para el problema de valor inicial
y′ + y = f(x), y(0) = 1)
donde 
Solución
Es claro que f es discontinua en x = 1 (verifíquelo).
Figura 1.3. Gráfica de la función f(x) del Ejemplo 1.3.5
Debemos resolver el problema en dos partes. Para 0 ≤ x ≤1 obtenemos la ecuación
y′ + y = 1,
que es una ecuación lineal con p(x) = 1 y q(x) = 1. El factor de integración es e∫dx = ex. Así,
al integrar obtenemos
yex = ex + c ó y = 1 + ce−x.
Como y(0) = 1, entonces 1 = 1 + c, c = 0. Luego, y = 1 para 0 ≤ x ≤ 1.
Figura 1.4. Gráfica de la solución del Ejemplo 1.3.5
Para x > 1 tenemos
y′ + y = −1.
Después de multiplicar esta ecuación por el factor de integración, llegamos a
al integrar y despejar y obtenemos
y = −1 + kex, (x > 1).
De este modo podemos escribir
Ahora, para que y sea continua se debe cumplir que
pero
por lo tanto, k = 2e. Luego, la solución particular es
Esta solución es continua en x = 1, pero no es diferenciable. La gráfica de la función se puede apreciar en la Figura 1.4.
1.3.1 Ecuaciones de Bernoulli y Clairaut
En este apartado consideraremos un par de ecuaciones muy conocidas; la primera de ellas es una ecuación diferencial no lineal que se reduce a una ecuación lineal por medio de una sustitución apropiada; ésta es la Ecuación de Bernoulli
donde n ≠ 0 y n ≠ 1. Observe que si n = 0, la ecuación es lineal, y si n = 1, la ecuación es separable. Luego presentaremos un método para resolver otra ecuación diferencial particular, que suele llamarse la Ecuación de Clairaut.
Para resolver la ecuación 1.3.5, la multiplicamos por y−n
Ahora, si hacemos z = y1−n, entonces
z′ = (1 − n)y−ny′,
o de forma equivalente 
. Sustituyendo en 1.3.6 obtenemos
la cual es una ecuación lineal en la variable z.
Ejemplo 1.3.6. Resuelva la ecuación diferencial
y′ + xy = xy−3e−x2.
Solución
Vemos que esta es una ecuación de Bernoulli en la cual n = −3. Al multiplicarla por y3 obtenemos
y3y′ + xy4 = xe−x2;
haciendo z = y4 obtenemos entonces
De donde,
de acá,
z′ + 4xz = 4xe−x2;
ésta es una ecuación lineal en z, con p(x) = 4x y q(x) = 4xe−x2. El factor de integración es
e4 ∫ xdx = e2x2.
Entonces,
y al integrar, obtenemos e2x2 z = 2ex2 + c
z = 2e−x2 + ce−2x2.
Al reemplazar z, llegamos a
y4 = 2e−x2 + ce−2x2.
Ecuación de Clairaut
La ecuación diferencial de la forma
y = xy′ + f(y′) (*)
se llama Ecuación de Clairaut. Para resolverla, derivamos a ambos lados con respecto a x :
y′= y′ + xy″ + f′(y′)y″,
donde el último término resulta de la regla de la cadena. Cancelando términos semejantes, obtenemos
y″(x + f′(y′)) = 0.
Como cada uno de los términos debe anularse, entonces resultan dos soluciones diferentes.
1. Si y″= 0, entonces y′ = c, donde c es una constante. Sustituyendo este valor en (*), obtenemos la solución general
y = cx + f(c),
que representa una familia de rectas.
2. Si x + f′(y′) = 0, entonces obtenemos que x = −f′(y′), y por lo tanto la ecuación (*) puede representarse como
y = −y′f′(y′) + f(y′).
En este caso x y y se expresan en términos de y′. En consecuencia, si hacemos y′= t, obtenemos
x = −f′(t).
y = f(t) − tf′(t).
La curva representada por estas dos ecuaciones paramétricas también es solución de la ecuación (*); esta solución es una solución singular de dicha ecuación.
Ejemplo 1.3.7. Resuelva la ecuación diferencial
xy′ − y = ey′.
Solución
Derivemos ambos lados con respecto a x :
y′ + xy″ − y′ = y″ey′,
a partir de lo cual concluimos que y″(x−ey′) = 0; si igualamos cada factor a cero, obtenemos que:
1. Si y″ = 0, entonces y′ = c. Luego, la solución general es
y = cx − ec.
2. Si x − ey′ = 0, haciendo y′ = t para obtener la curva paramétrica x = et,
y = tet − et = et(t − 1);
esta última es la solución singular.
