Читать книгу: «Логика. Краткий курс»

Ю.В. Ивлев

ЛОГИКА. КРАТКИЙ КУРС

Учебное пособие

ebooks@prospekt.org

Информация о книге

УДК 16(075.8)

ББК 87.4я73

И17

Автор:

Ивлев Ю. В. – доктор философских наук, заслуженный профессор МГУ имени М. В. Ломоносова, заслуженный работник высшей школы Российской Федерации, лауреат Ломоносовской премии за учебники по логике, академик Российской академии естественных наук. Более 20 лет заведовал кафедрой логики МГУ имени М. В. Ломоносова, в настоящее время профессор этой кафедры.

Эта небольшая книга предназначена для широкого круга читателей. Во-первых, она полезна для тех, кто не изучал логику в качестве учебной дисциплины, как для взрослых, так и для детей. Дети могут изучать логику самостоятельно, а могут и под руководством родителей или учителей. Во-вторых, она позволит повторить основные методы и приемы логики тем, кто логику изучал. В этом случае будет полезно познакомиться с последними научными достижениями в области логики, которые, по возможности, представлены в книге. В-третьих, она полезна преподавателям логики, поскольку в ней излагается концепция логики, разработанная автором этой книги, который много лет ведет преподавательскую и научную работу в области логики (является лауреатом Ломоносовской премии за учебники по логике, более 20 лет заведовал кафедрой логики МГУ имени М. В. Ломоносова). В-четвертых, книга нужна магистрантам, не изучавшим логику в бакалавриате и продолжающим учебу на факультетах, где основная часть студентов логику изучала.

При написании книги учтено, что почти в каждой науке есть две части – эмпирическая и теоретическая. В эмпирической части описываются факты и даются некоторые их обобщения. В теоретической – модели, являющиеся упрощениями и, как правило, искажениями фактических данных. В логике тоже есть такие части. В процессе преподавания иногда излагается или первая часть (это, в основном, так называемая традиционная логика), или вторая часть – модели (в основном, логика символическая, или математическая). В учебнике предпринята попытка соединить эти части.

При написании книги ставилась задача не только изложить проблемы логики, но и познакомить читателя с проблемами научного познания на примере логики.

УДК 16(075.8)

ББК 87.4я73

© Ивлев Ю. В., 2016

© ООО «Проспект», 2016

Предисловие

Эта небольшая книга предназначена для широкого круга читателей. Во-первых, она полезна для тех, кто не изучал логику в качестве учебной дисциплины, как для взрослых, так и для детей. Дети могут изучать логику самостоятельно, а могут и под руководством родителей или учителей. Во-вторых, она позволит повторить основные методы и приемы логики тем, кто логику изучал. В этом случае будет полезно познакомиться с последними научными достижениями в области логики, которые, по возможности, представлены в книге. В-третьих, она полезна преподавателям логики, поскольку в ней излагается концепция логики, разработанная автором этой книги, который много лет ведет преподавательскую и научную работу в области логики (является лауреатом Ломоносовской премии за учебники по логике, более 20 лет заведовал кафедрой логики МГУ им. М. В. Ломоносова). В-четвертых, книга нужна магистрантам, не изучавшим логику в бакалавриате и продолжающим учебу на факультетах, где основная часть студентов логику изучала.

При написании книги учтено, что почти в каждой науке есть две части – эмпирическая и теоретическая. В эмпирической части описываются факты и даются некоторые их обобщения. В теоретической – модели, являющиеся упрощениями и, как правило, искажениями фактических данных. В логике тоже есть такие части. В процессе преподавания иногда излагается или первая часть (это, в основном, так называемая традиционная логика), или вторая часть – модели (в основном, логика символическая, или математическая). В книге предпринята попытка соединить эти части.

При написании книги ставилась задача не только изложить проблемы логики, но и познакомить читателя с проблемами научного познания на примере логики.

Как решать задачи

Перед нами уже стоит задача. Каков смысл выражения «Как решать задачи»? Что это – вопрос или нет? В конце этого выражения (заглавия) нет ни знака вопроса, ни точки. Читатель может сказать: «Пусть ответит тот, кто написал это». Будет читатель прав или нет?

Как быть, если того, кто это написал, нет поблизости? Нужно использовать имеющееся знание о том, что в заглавиях точка может опускаться, а вопросительный знак – нет. При использовании этого знания смысл заглавия заключается в том, что в тексте излагаются способы решения задач. Если же указанного исходного знания нет, то нужно предположить две возможности понимания заглавия. Первая – названная. Вторая – в тексте речь будет идти о пояснении вопроса «Как решать задачи?», например, о том, какие трудности возникают при решении задач.

Будем говорить о трудностях, которые возникают при решении задач, а также о методах решения.

Некоторые люди плохо решают задачи. По каким причинам?

Первая причина. Для решения задачи нужны определенные знания. В данном случае нужно было знать, что в заглавии точка может не ставиться, если заглавие выражает утверждение. Если же заглавие выражает вопрос, то нужно ставить знак вопроса (?).

Еще примеры.

Первый. Стоянка ограничена бетонными столбами:

Расстояние между столбами по горизонталям и вертикалям – 8 м. Как увеличить площадь стоянки для автомобилей на 50%, не повреждая бетонные столбы? Есть условия: для стоянки автомобиля нужно расстояние длиной 3,5 м; увеличение площади может производиться только на запад, автомобили могут въезжать и выезжать только с севера. Для решения задачи можно использовать знание «площадь прямоугольника равна произведению величины его длины на величину его ширины». Решите задачу.

Второй. Шесть школьников нашли по пять грибов каждый. Сколько всего грибов нашли школьники? Возможны два решения. Первое – умножаем 6 на 5. Второе – производим сложение: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5.

Вторая причина. Ученики не понимают смысл задачи. Чтобы понять смысл задачи, нужно выяснить смысловые и предметные значения выражений.

Выражения языка можно рассматривать как знаки. Знак, в таком контексте, ─ это выражение, обозначающее какой-то предмет. Под предметом понимается все, что может быть как-то названо. Примеры знаков: река Волга, кошка. Предметным значением (или просто значением) выражения «река Волга» является сама эта река, а смысловым значением ─ какая-то из информаций о Волге, выраженная в языке, например, информация о том, что это самая большая река в Европе, а также зрительный образ этой реки или какое-то иное представление о Волге. Первый вид смыслового значения (самая большая река в Европе) называется смыслом знака, а второй ─ образным представлением. Образное представление называется также идеей. Знаковую ситуацию можно представить графически:

Предметным значением слова «кошка» является каждая кошка. Что является смысловым значением этого слова? Вряд ли читатель может указать смысл этого слова, если под смыслом понимать выраженную в языке информацию, позволяющую отличать кошек от всех других животных. В биологии такая информация, конечно, есть. Как же мы отличаем кошек от собак и от других животных? ─ На основе зрительного представления.

Каково смысловое значение выражения «потребительная стоимость вещи»? Смысл ─ степень полезности вещи. Образного представления нет.

Таким образом, некоторые знаки имеют смысл и образное представление, другие имеют только образное представление, а третьи только смысл.

Две последние ситуации можно пояснить графически:

Пример. Пусть знаком является слово «кошка». Каждая кошка является значением этого слова. Множество значений называется объемом знака. Объем знака можно изобразить в вид круга, заполненного точками.

Круг, представляющий объем знака «кошка»:

Пусть значением знака является один предмет. Например, значением слова «Россия» является один предмет ─ государство, в котором мы живем.

Объем этого знака ─ множество, состоящее из одного предмета. Графически:

Точки внутри круга можно не ставить.

Представьте графически отношение между объемами выражений «дерево», «береза», «березовый брус».

Задачу нельзя решить, если не уточнить смысловые и предметные значения этих выражений, то есть если из этих слов и словосочетаний не образовать знаки. Под деревом может иметься в виду растение «дерево», а может иметься в виду материал (деревянные доски, брусья и т. д.). То же самое можно понимать и под березой. В общем случае нужно рассмотреть все варианты понимания выражений или спросить у того, кто формулирует задачу, какие знаки выражены словами (или сочетаниями слов), так как знак ─ это выражение, имеющее смысловое значение. Если значениями слов «дерево» и «береза» считать соответствующие растения, то отношения между объемами этих знаков будет представлено схемой:

Два левых круга соответствуют объемам знаков «дерево» и «береза», а правый ─ объему знака «березовый брус».

Третья причина, по которой плохо решают задачи, ─ добавляются новые условия, усложняющие решение.

Пример. У меня в кармане две монеты. В сумме они составляют 3 руб. Какие это монеты? Но одна из них не рубль, как вы сразу подумали. Обычно человек добавляет предпосылку и считает, что и вторая монета не рубль.

Четвертая причина ─ не полностью формулируется условие задачи.

Пример 1. Психиатр проверяет пациента, нет ли у него психического заболевания. Спрашивает: «Как распределить предметы на группы?» На столе лежат гвоздь, нож и яблоко. Пациент отвечает: «В одну группу войдут нож и яблоко, а в другую ─ гвоздь, так как нож и яблоко имеют отношение к еде, а гвоздь к строительству». Психиатр делает запись о заболевании пациента, поскольку считает, что надо было распределить предметы на группы так: одна группа – нож и гвоздь (металлические предметы), а другая – яблоко (не металлический предмет). Кто из них прав?

Чтобы ответить на этот вопрос, полезно познакомиться с логической операцией, которая называется делением.

Деление. Деление – это выделение частей объема знака (если объем знака включает более одного предмета) или частей значения знака, обозначающего только один предмет, на основе характеристики, называемой основанием деления. Чаще всего знаки, над которыми производится операция деления, выражают понятия, поэтому исходный знак называется делимым понятием, а знаки получаемых частей – членами деления. (Учение логики о понятии изложено ниже.) Если выделяются части объема знака, то деление называется таксономическим, а если выделяются части предмета, то деление называется мереологическим.

В приведенном выше примере требовалось произвести таксономическое деление. Однако основание деления указано не было. Пациент выбрал в качестве основания предназначение предметов, а психиатр – материал, и разделил предметы на металлические и неметаллические. Психиатром было не полностью сформулировано условие задачи. В таком случае нужно спросить того, кто формулирует задачу: «Каково основание деления?», а если спросить нельзя, то сформулировать все возможные основания деления, например, в данном случае, основаниями могут быть (1) материал, из которого состоят предметы, (металлические или неметаллические); (2) цель, для которой предназначены предметы (еда или строительство); (3) происхождение (растительное или нерастительное) и т. д. (Ниже операция деления будет изложена подробнее.)

Пример 2. Имеется одна лодка. Как перевезти через реку волка, козу и капусту при условии, что волк не может находиться в лодке с козой (может ее съесть), а коза не может находиться в лодке с капустой (коза может съесть капусту). Какие условия не сформулированы? Перечислите их.

Замечание. Трудности при решении задач не всегда связаны с пониманием смысла задачи и знанием ее условий. Трудности могут быть вызваны также:

во-первых, тем, что задачи являются проблемными (о том, что такое проблема, речь пойдет ниже), то есть задачами, для которых нужно разработать метод решения,

во-вторых, тем, что при решении нужно проявить сообразительность.

Пример 3. По-видимому, самой знаменитой проблемой первого вида являлась задача о квадратуре круга. Ее формулировка: предъявить квадрат, площадь которого была бы равна площади заданного круга. Софист Антифон, современник Сократа (V в. до н. э.), переформулировал задачу так: вписать в круг квадрат, потом правильный восьмиугольник, потом шестнадцатиугольник и т. д. Поскольку можно построить квадрат, равновеликий любому такому многоугольнику, задача может быть решена, но приближенно. Бризон, тоже современник Сократа, предложил присоединить к вписанным многоугольникам описанные. Проблема решалась многие столетия. В конце концов был получен отрицательный результат – квадрата, площадь которого равна площади данного круга, не существует.

Пример 4. В Геленджике обнаружили дыру в земле. Бросали в нее камни. Не было слышно, как они достигают дна. Привязали за веревку человека, опустили в дыру. От него не было сигнала, чтобы тянули наверх. Забеспокоились. Вытащили, а он мертвый, газом отравился. Как узнать глубину дыры, не опуская в нее человека? Решите задачу.

Для полноты «картины» сформулируем еще один вид задач – задачи, которые решаются подбором ответа.

Пример. Фокин, Савкин и Петраков украли в каждом из сельских дворов 3 курицы. Больше всех украл Фокин – 7 кур, меньше всех Савкин – 3 курицы. Сколько кур украл Петраков? Решение: число кур кратно 3; Петраков не мог украсть более 6 кур и менее 4; если предположить, что он украл 6 кур, то общее число украденных кур – 16, которое не делится на 3; если предположить, что четыре, то общее число украденных кур – 14, которое тоже не делится на 3; остается число 5; 7 + 3 + 5 = 15; 15 на 3 делится.

О логической культуре

Люди иногда испытывают трудности не только при решении задач, но и при чтении книг, при понимании деловых текстов и устных сообщений, в которых не излагаются задачи. Чем это вызвано?

Причиной непонимания может быть нарушение требований логики теми, кто написал текст или произнес речь, то есть низкая логическая культура автора текста или речи, а также недостаточная логическая культура того, кто читает текст или слушает устное сообщение.

Логическая культура человека – это совокупность логических средств (приемов, правил, законов и т. д.), которыми человек владеет.

Некоторой логической культурой человек может обладать, если он и не изучал логику. Существует даже мнение, что умение логично рассуждать присуще людям от природы. Это мнение ошибочно. Его опровергают исследования, которые проводились в нашей стране в 30-х гг. прошлого столетия. В ходе исследований крестьянам, живущим в глухих деревнях и ведущим почти натуральное хозяйство, задавали вопросы. Например, крестьянину говорили, что согласно постановлению правительства в каждом райцентре должно быть почтовое отделение. Говорили, что это постановление выполнено. Крестьянина спрашивали, согласен ли он с тем, что в каждом райцентре есть почтовое отделение. Обычно крестьянин соглашался.

Тогда ему говорили, что поселок такой-то – райцентр. Крестьянин соглашался и с этим, говорил, что это райцентр района, в котором он живет. Затем крестьянину задавали вопрос: «Вытекает ли из утверждений “В каждом райцентре есть почтовое отделение” и “Названный поселок – райцентр” утверждение “В этом поселке есть почтовое отделение”?» Крестьянин утвердительно отвечал на вопрос и добавлял: «Я сам не раз бывал в райцентре и видел там почтовое отделение».

Затем того же крестьянина вновь спрашивали, согласен ли он с тем, что в каждом райцентре есть почтовое отделение. Крестьянин соглашался. Он соглашался и с тем, что другой поселок, который при этом назывался, является райцентром, и добавлял, что это райцентр соседнего района. На вопрос, вытекает ли из этих двух утверждений утверждение о том, что в этом другом поселке есть почтовое отделение, крестьянин отвечал: «Чего не знаю, того не знаю. Я никогда там не был».

Логическая культура современного грамотного человека выше логической культуры крестьян, о которых шла речь. Нам даже кажется странным непонимание таких простых рассуждений (они называются категорическими силлогизмами).

Но если логическая культура не дается человеку от природы, то как же она формируется?

Логической культурой овладевают в ходе общения, учебы, в процессе чтения литературы. Встречаясь неоднократно с теми или иными способами рассуждения, мы постепенно их усваиваем и начинаем понимать, какие из них правильные, а какие неправильные.

Указанный путь формирования логической культуры можно назвать «стихийным». Он не является наилучшим, так как люди, не изучившие логику, как правило, не владеют теми или иными логическими приемами, и кроме того, у них разная логическая культура, что не способствует взаимопониманию. Это подтверждают исследования, в ходе которых до начала изучения логики давалось задание проанализировать ряд рассуждений. Требовалось ответить, какие рассуждения студент считает правильными, какие – неправильными, а о каких не имеет определенного мнения. Предлагалось также сообщить, какими способами, соответствующими данным правильным рассуждениям, он владеет активно, то есть сам так рассуждает, а какими активно не владеет. Ответы студентов относительно одних и тех же рассуждений оказывались разными. После изучения логики логическая культура и повышалась, и выравнивалась.

Изучение логики – наиболее продуктивный способ формирования и повышения логической культуры. Логика систематизирует правильные способы рассуждения, а также типичные ошибки в рассуждениях. Она предоставляет средства для точного выражения мыслей. Известный ученый Д. С. Милль писал о значении логики: «Когда я принимаю в соображение, как проста теория умозаключения, какого небольшого времени достаточно для приобретения полного знания ее принципов и правил и даже значительной опытности в их применении, я не нахожу никакого извинения для тех, кто, желая заниматься с успехом каким-нибудь умственным трудом, упускает это изучение. Логика есть великий преследователь темного и запутанного мышления; она рассеивает туман, скрывающий от нас наше невежество и заставляющий нас думать, что мы понимаем предмет, в то время, когда мы его не понимаем»¹.

Знаки

О знаках речь уже шла. Теперь более подробно рассмотрим этот вопрос. Знак – это материальный объект, выступающий в процессе познания или общения в качестве представителя какого-либо объекта.

Можно выделить знаки следующих трех типов: (1) знаки-индексы; (2) знаки-образы; (3) знаки-символы.

Знаки-индексы связаны с представляемыми ими объектами материально, например, как следствия с причинами. Так, дым над лесом говорит о наличии там огня, повышенная температура человека – о заболевании, изменение цвета ногтей человека – о заболевании внутренних органов, изменение высоты ртутного столба – об изменении атмосферного давления.

Знаками-образами являются те знаки, которые сами по себе несут некоторую информацию о представляемых ими объектах (карта местности, картина, чертеж), поскольку они находятся в отношении подобия с обозначаемыми объектами.

Знаки-символы не связаны материально и не сходны с представляемыми ими объектами.

Логика исследует знаки последнего вида.

Знаки имеют, как уже было сказано, предметные и смысловые значения. Предметное значение – объект, который представляется (или обозначается) знаком. Предметное значение часто называют просто значением.

Смысловое значение – выражаемая знаком характеристика объекта, представителем которого является знак, т. е. информация об этом объекте. Информация бывает двух типов. Информация первого типа называется смыслом знака, а информация второго типа – зрительным образом, или интуитивным представлением. Смыслом называется выраженная в языке информация, которая позволяет отличать предметы, являющиеся значением знака, от всех других предметов. Информация второго типа называется также идеей. Как уже было сказано, смысловое значение может включать как смысл, так и идею. Может быть только смыслом, а может – только идеей.

Некоторые знаки не имеют значения, т. е. представляют несуществующие в области рассуждения объекты («вечный двигатель»).

Среди знаков-символов выделяют логические знаки и нелогические. Нелогические знаки называют также дескриптивными (описательными).

Логические знаки выражают наиболее общие характеристики вещей и явлений, а также мыслей. К ним относятся союзы «и», «или», «если…, то…», отрицание «неверно, что» («не»), слова, характеризующие количество предметов, о которых нечто утверждается или отрицается: «все» («ни один»), «некоторые», связка «суть» («есть»), слово «следовательно» и др. Поскольку все перечисленные выражения в обыденном языке употребляются в разных смыслах, они еще не являются знаками. Чтобы они были знаками, им нужно придать смысл. После того, как этим выражениям придается смысл, они становятся знаками и называются логическими терминами.

Пример. Союз «и» может употребляться в разных смыслах, в том числе в следующих.

Первый. Союзом выражается одновременное существование двух ситуаций. (Идет дождь, и идет снег.) В логике для того, чтобы зафиксировать смысл союза, употребляют специальный язык, называемый языком символов. В языке символов союз «и» в указанном смысле обозначается так: &⁼.

Второй. Выражается последовательное существование или возникновение двух ситуаций. (Петров вышел на улицу и (потом) встретил друга.) Обозначение: &^→

Третий. Возникает некоторая ситуация, вторая ситуация возникает позже первой, но продолжает существовать, когда первая еще не закончилась. (Настало лето, и расцвели цветы.) Обозначение: &^→,=.

Другие логические термины вводятся ниже.

Дескриптивные термины. Знаками-символами являются имена. Имя – это слово или словосочетание, обозначающее какой-либо предмет. В качестве знаков-символов, описанных выше, как раз и выступали имена. Как было сказано, знаки, а значит и имена, имеют смысловые и (или) предметные значения. Имя, обозначающее единственный предмет, называется единичным. Имя, объем которого состоит более чем из одного предмета, называется общим. Общие имена могут быть универсальными. Универсальным называется общее имя, объемом которого является весь универсум рассуждения (предметная область, о которой ведется рассуждение). Например, «человек, знающий некоторые иностранные языки или не знающий ни одного иностранного языка». Универсум рассуждения здесь – множество (всех) людей. Объем имени – то же самое множество. Имя «человек, знающий какие-то иностранные языки» – не универсальное, поскольку его объем не совпадает с множеством (всех) людей. Универсум рассуждения определяется контекстом, в котором употребляется имя.

Могут быть имена с разными смыслами и одним и тем же объемом (например, «самый большой город Англии» и «столица Англии»), но не может быть имен с одним и тем же смыслом, но разными объемами. Имена, в объеме которых нет ни одного предмета из области рассуждения, называются мнимыми. Здесь следует обратить внимание на то, что области рассуждения (предметные области) могут быть разными. Имя «вечный двигатель» является мнимым, если областью рассуждения являются материальные предметы, существующие в действительности, или те, которые могут существовать в качестве материальных. Геометрическая точка не существует в качестве материального объекта (в реальном мире нет объектов, которые не имеют ни длины, ни высоты, ни ширины)², но она существует в предметной области геометрических объектов. По отношению к области геометрических объектов имя «точка» не является мнимым.

Различают имена, имеющие собственный смысл, и имена, не имеющие собственного смысла. Имена, имеющие собственный смысл, – это описательные имена типа «самая большая река в Европе». Смысл таких имен определяется их структурой, а также смыслами или значениями имен, составляющих эти описательные имена. Если имена, входящие в сложное имя, не имеют смысла, то описательное имя и в этом случае может иметь смысл. Этот смысл заключается в указании отношения между значениями составляющих имен, выделяемыми на основе идей. Неописательные имена типа «Волга» не имеют собственного смысла. Если они и имеют смысл, то лишь приданный. Неописательным именам придается смысл посредством описательных имен, которые ставятся им в соответствие. В описательные имена в свою очередь входят имена неописательные. Им тоже придается смысл через описательные. Очевидно, что такой процесс не может быть бесконечным, т. е. некоторые неописательные имена имеют значение, но не имеют смысла, хотя имеют идеи. Эти имена обозначают предметы, но не несут о них выраженной в языке информации, позволяющей выделять эти предметы среди других предметов. Они вводятся на основе зрительных образов или интуитивных представлений, идей. Имена, не имеющие смысла, часто являются именами с недоопределенными значениями. Эти имена не выражают понятий, но их ошибочно называют нечеткими понятиями. Таковы так называемые «оценочные понятия»: «жестокое обращение с животными»; «животное» (при решении вопроса о жестоком обращении с животными).

Недоопределенность значений имен, не имеющих смыслов, обусловлена тем, что зрительные образы и интуитивные представления об обозначаемых такими именами предметах во многих случаях у разных людей являются различными, т. е. содержат в себе элементы субъективности, что представлено на следующей схеме.

Употребление имен подчиняется определенным требованиям (принципам). Сформулируем два из этих принципов.

Первый. Принцип предметности: в предложениях должно что-либо утверждаться или отрицаться не об именах, а о значениях имен. Например, если мы говорим, что Земля – планета, то мы говорим не о слове «Земля», а о самой Земле. Конечно, иногда приходится что-то утверждать или отрицать об именах. Тогда употребляются так называемые «кавычковые имена». Например, в предложении «“Земля” – имя планеты» говорится не о небесном теле «Земля», а об имени этого небесного тела. Иногда в естественном языке встречаются случаи, когда именем имени является само исходное имя. Например, в предложении «Стол состоит из четырех букв» слово «стол» является именем самого этого слова. Такое употребление имен называется автонимным. Автонимное употребление имен недопустимо в научных языках.

Замечание. Этот принцип часто нарушается при обучении детей чтению. Обучение начинают не с изучения букв, а с изучения имен букв. Если ребенок знает имена букв, то не обязательно, что он знает буквы. Например, именем буквы б является выражение бэ. Именами гласных являются сами эти буквы. После того, как ребенок изучит имена согласных, его учат читать слоги: бэ и а читается ба, а и бэ читается аб и т. д. Такой способ обучения чтению является чрезвычайно сложным. Лучший путь – учить ребенка не именам букв, а буквам.

Второй принцип – принцип однозначности. Согласно этому принципу выражение, используемое в деловом или научном языке в качестве имени, должно быть именем только одного предмета, если это единичное имя, а если это общее имя, то данное выражение должно быть именем, общим для предметов одного класса. Данный принцип не всегда соблюдается людьми с низкой логической культурой.

Еще одним видом дескриптивных терминов являются знаки предметных функций, или предметные функторы. Эти знаки выражают предметные функции.

Функцией называется соответствие, в силу которого объекты (предмет, пара, тройка предметов и т. д.) из некоторого множества, называемого областью определения функции, соотносятся с объектами из другого или того же самого множества, называемыми значениями функции. Всем известны математические (числовые) функции – сложение чисел, вычитание, умножение, деление. В логике понимание функции обобщается.

Предметной называется функция, значениями которой являются любые предметы. Примеры предметных функций: масса, трудовой стаж, размер среднемесячного дохода, отец, столица. Применив функциональный знак «масса» к единичному имени «Земля», получим в качестве значения единичное имя «масса Земли», обозначающее определенную величину, т. е. предмет. Таким образом, данная функция сопоставляет предметы (материальные объекты, обладающие массой) с другими предметами (величинами массы). Областью определения функции «трудовой стаж» является множество людей. Областью значений – множество именованных чисел (множество лет работы). Применив эту функцию к человеку, например, к Петрову, получим именованное число, например, 20 лет. Областью определения функции «отец» является множество людей. Применив эту функцию, например, к Сократу, в качестве значения получим определенного человека.

Некоторые логические термины тоже понимаются как функции. Это уже функции другого типа – логические функции. Например, логический термин «неверно, что» (отрицание) рассматривается как функция, сопоставляющая истинное предложение с ложным, а ложное с истинным. Применив отрицание к истинному предложению «На Земле есть жизнь», получим ложное предложение «Неверно, что на Земле есть жизнь». Применив отрицание к ложному предложению «Москва – большая деревня», получим истинное предложение «Неверно, что Москва – большая деревня».