Читать книгу: «Методика преподавания математики в начальной школе», страница 3

Nа c Nb и Nа ≠ Nb.

Справедливо и обратное утверждение, что: если Nа – собственное подмножество Nb, то а < b.

Тем самым отношение «меньше» приобретает смысл:

а < b в том и только том случае, когда отрезок натурального ряда чисел Nа является собственным подмножеством отрезка Nb:

а < b <=> Nа c Nb и Nа ≠ Nb.

Например: 5 < 8 следует из того, что А = {1, 2, 3, 4, 5}; В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};

А ={1, 2, 3, 4, 5} c В={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

В начальной школе об этом говорят так: «Число а меньше b тогда и только тогда, когда число а называется раньше числа b».

Такая трактовка отношения «меньше» позволяет сравнивать числа, опираясь на знание натурального ряда чисел и места каждого числа в нем.

Но часто сравнивают числа, используя связь их с конечными множествами.

Например:

Если 6 – это число треугольников, а 8 – это число квадратов, то 6 < 8, потому что во втором множестве можно выделить собственное подмножество, равномощное множеству треугольников. Т.е. множество треугольников равномощно отрезку N6, а множество квадратов равномощно отрезку N8 и

N6 c N8.

В общем виде этот подход обосновывается так:

Пусть а = n (A), b = n (B), и а < b.

Тогда А ~Nа, B ~Nb и Nа c Nb.

Последнее отношение означает, что в множестве В можно выделить подмножество В1, равномощное множеству А, т.е.

а < b <=> А ~ В1, где В1 с В, В1 ≠ В, В1 ≠ Ø.

Таким образом, с теоретико-множественной позиции отношение «меньше» приобретает смысл: если а = n (A), b = n (B) и множество А равномощно собственному подмножеству множества В, то а < b.

Заметим, что эти трактовки основываются на понятии конечного множества, т.к. мы имеем дело с конечными множествами, а любое подмножество конечного множества – конечно.

При определении натурального числа соответствующего множеству А приходиться осуществлять счет, а для этого нужен отрезок натурального ряда чисел. Поэтому курс математики начальных классов начинается с изучения чисел в пределах десятка.

Каждое число изучается как количественное натуральное число, являющееся свойством класса конечных равномощных множеств. Число элементов в множестве определяется путем счета. Количественный и порядковый смысл числа и его запись выступают в тесной взаимосвязи.

Методика изучения нумерации целых неотрицательных чисел

в концентре «Числа от 1 до 100»

План:

I. Изучение нумерации чисел от 11 до 20 в начальной школе.

II. Методика изучения нумерации чисел в пределах сотни в начальной школе.

I. Изучение нумерации чисел от 11 до 20 в начальной школе

Изучение чисел до 20 выделяется в особый этап. С чем это связано? Дети знакомятся с новой счетной единицей – десятком и с важнейшим понятием десятичной системы счисления – понятием разряда.

Название чисел второго десятка (двенадцать, тринадцать и т.д.) образуются из тех же слов, что и названия разрядных чисел (двадцать, тридцать и т.д.). Но слова «два» (двенадцать), «три» (тринадцать) обозначают в числах до 20 число единиц, тогда как в числительных двадцать, тридцать и они обозначают число десятков. Кроме того, только в числах второго десятка не совпадают названия составляющих их разрядных чисел и порядок «записи»: называют сначала единицы (две-на-дцать), а пишется первым десяток (12). Во всех остальных случаях чтение и «запись» разрядных чисел совпадают (54, 32, 87 и т.д.).

Эти особенности требуют внимания к изучению чисел второго десятка.

Дети должны познакомиться

– с новой счетной единицей – десятком,

– усвоить принцип образования, названия и «запись» двузначных чисел в пределах 20,

– научить понимать и «записывать» отношения равенства, неравенства между этими числами, т.е. сравнивать числа,

– овладеть приемами устных вычислений (увеличить, уменьшить число на один),

– уметь «записать» это при помощи цифр и знаков.

Прежде всего детей необходимо познакомить с новой счетной единицей – десятком, которая лежит в основе всех чисел второго десятка, объяснить, как образуется эта счетная единица. Для этого учитель выставляет на доске десять счетных палочек, пересчитывает их вместе с детьми, обозначает соответствующей цифрой 10 и говорит, что десять палочек иначе называются «десяток». Чтобы дети уяснили, что десять палочек и один десяток палочек – понятия идентичные, рекомендуем несколько раз повторить такую операцию: десять палочек выставляются по одной, пересчитываются, после чего связываются в пучок: «Итак, у нас десять палочек или один десяток». Можно дать сведения о том, что раньше это количество называлось «дцать».

Только после этого можно начать знакомство с числами второго десятка.

Остановимся на этом подробнее и приведем пример фрагмента урока:

– Сегодня вы узнаете, что можно называть не только до 10, но и далее. Сейчас мы говорим «десять», а когда-то, очень давно люди говорили «дцать», а не десять. Сейчас так не говорят, но слово «дцать» сохранилось в названиях всех чисел, которые вы сегодня узнаете. Послушайте: один-на-дцать, две-на-дцать, три-на-дцать и т.д. Когда клали после десяти еще один (учитель кладет на пучок палочек, еще одну палочку), то говорили: «один-на -дцать, т.е. один-на-десять». Воспитатель ставит еще одну палочку: «А теперь – «две-на-дцать», т.е. две-на-десять».

Таким образом, учитель может продемонстрировать на доске образование всех  чисел второго десятка. Чтобы дети более глубоко и осмысленно воспринимали десяток, как новую более крупную единицу счета, рекомендуем использовать магнитную доску «Числа от 1 до 20».

Можно воспользоваться и палочками. Учитель вместе с детьми считает десяток палочек – дцать, сверху кладет еще одну: один на дцать.

Детям предлагают сделать у себя на столах то же самое. Учитель обращает внимание детей на то, что в числе 10 цифра 1 обозначает количество десятков в числе, а 0 отсутствие единиц. После такого объяснения воспитатель ставит рядом с десятком палочек на доске еще одну палочку (дети то же делают у себя на столах), получилось один-на-дцать. Чтобы обозначить это число цифрой, вместо нуля ставится единица – это обозначает, что к одному десятку добавили единицу – и получается – 11». Дети убирают у цифры 10 ноль и ставят вместо него единицу или закрывают ноль единицей. Таким же образом учитель объясняет, как «записать» все остальные числа до 19. При этом единица, обозначающая десяток, не убирается, меняются лишь цифры, обозначающие количество единиц в числе. Показав, как записывается число девятнадцать, воспитатель предлагает к имеющимся десяти палочкам (положенным к связанному десятку палочек) положить еще одну. Итак, на столе перед детьми лежат два десятка палочек – один, положенный в начале, другой, полученный путем прибавления палочек. Детям предлагается вначале самим подумать, как можно «записать» число. Выслушав ответы детей, воспитатель объясняет, что стало два десятка палочек (два-дцать), поэтому цифру, обозначающую число десятков, надо заменить и поставить вместо цифры 1 цифру 2. Отсутствие единиц в этом числе обозначается цифрой 0. Таким образом, дети знакомятся с записью числа 20.

На последующих занятиях воспитатель должен закрепить принцип «записи» двузначных чисел в пределах 20. Рекомендуем делать это с опорой на    наглядный    материал.    Приведем    пример.  Воспитатель    предлагает отсчитать десять палочек, связать их, положить перед собой.

– Сколько перед вами десятков? (Один.)

– Обозначьте   это   соответствующей   цифрой.   Положите   под десятком цифру 1. (Дети выполняют задание.)

– А единиц сверх десятков сколько? (Ни одной.)

– Какой цифрой это можно обозначить? (Цифрой 0.)

– Положите эту цифру рядом с цифрой 1 и прочитайте, какое число вы выложили. (Десять.)

– Теперь сверху над связанным десятком палочек положите еще две палочки. Сколько десятков перед вами? (Один десяток.)

– А единиц сверху над десятком сколько? (Две.)

– Что надо изменить, чтобы правильно показать число палочек? (Надо изменить число единиц, т.к. их стало две – вместо нуля поставить цифру 2.)

– Какое число получилось? (Двенадцать.)

В некоторых программах курса начальной математики (учебники Л.Г. Петерсон, Н.Б. Истоминой) десяток обозначается треугольником, а единицы кружками:

Такие и подобные занятия знакомят детей с десятичным составом и натуральным следованием чисел до 20. Для закрепления знания натуральной последовательности чисел воспитатель может использовать различные упражнения. Например, детям предлагается положить перед собой 12 палочек, потом придвигать по одной палочке и каждый раз говорить, сколько палочек стало. Или положить 18 палочек, потом откладывать в сторону по одной, каждый раз называя, сколько палочек осталось.

НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО КАК МЕРА ВЕЛИЧИНЫ

Понятие положительной скалярной величины

и ее измерения

План:

I. Понятие величины.

II. Особенности величин.

III. Измерение величин.

IV. Сравнения и действия с числами, выражающими меру величин.

I. Понятие величины

В математике начальной школы понятие натурального числа является основным. Именно с него начинается обучение. Натуральное число обладает различными функциями:

– количественной характеристикой предметного множества,

– характеристика порядка,

– значение величины при выбранной единице, т.е. мера величины,

– компонент вычислений.

С этими функциями числа необходимо познакомить младших школьников. А поэтому учителю начальных классов важно овладеть теориями, обосновывающими различные подходы к определению натурального числа и действий над ними:

– аксиоматической,

– теоретико-множественной, а также и

– с точки зрения меры величины.

Следовательно, натуральное число является и значением при измерении величин – один из подходов к трактовке числа в начальном обучении.

Натуральное число рассматривается в связи с измерением таких величин как

длина,

масса,

емкость,

площадь,

время,

а также величины, используемые при решении задач с различными процессами:

скорость,

цена,

количество товара,

стоимость,

производительность и т.д.

Величина – особое свойство окружающих нас предметов и явлений, которое проявляется при сравнении предметов и явлений по этому свойству, причем каждая из величин связана с определенным способом сравнения.

Все величины, выражающие одно и то же свойство, называются величинами одного рода или однородными.

II. Особенности величин

При работе с величинами необходимо знать их особенности:

1. Любые две величины одного рода сравнимы: одна может быть равна другой или меньше другой, при этом могут быть отношения «равно», «меньше», «больше»: А = В, А < В, А > В.

2. Отношение «меньше» для однородных величин транзитивно: если А < В,

В < С, то А < С.

3. Величины одного рода можно складывать, в результате получается величина того же рода.

Для любых двух величин А и В определяется величина С = А + В, которую называют суммой этих величин – А и В.

Сложение величин коммутативно и ассоциативно.

Например:

а) Если масса яблок – А, а масса груш – В, то А + В – это масса яблок и груш. Из этого очевидно, что А + В = В + А.

б) Если масса яблок – А, а масса груш – В, а С – масса слив, то (А + В) – это масса яблок и груш, а (А + В) + С – масса яблок, груш и слив. А (В + С) – масса груш и слив, а А + (В + С) – масса яблок, груш и слив. Из этого очевидно, что (А + В) + С = А + (В + С).

4. Величины одного и того же рода можно вычитать, в результате получается величина того же рода.

Вычитание определяют через сложение, т.к. эта операция обратная сложению:

Разностью величин А и В называется такая величина С, что С = А – В, что А = В + С. Разность существует тогда и только тогда, когда А > В.

b      c

_________________________

a

5. Величину можно умножать на положительное действительное число, в результате получают величину того же рода:

для любой величины А и любого положительного числа х существует единственная величина В = х · А.

Например, А – масса одной коробки печенья, то масса пяти таких коробок

(х = 5): В = 5 · А.

6. Величины одного и того же рода можно делить, получая в результате число. Деление определяют через умножение величины на число:

частным величин А и В называется такое положительное действительное число х =А : В, что А = х · В:

b

__________________________

a

III. Измерение величин

Величины обладают особенностью – их можно оценить количественно, т.е. измерить. Для измерения выбирают величину, называемую единицей измерения.

Например, при измерении длины:

е

____

а

____________________

____

Измерить величину а – это значит найти такое положительное действительное число х, что А = х · е, при этом число х называют численным значением величины А при единице е и пишут х = m (A).

Число х показывает, во сколько раз величина А больше (или меньше) величины е , принятой за единицу измерения.

Например, если А – длина отрезка a, е – длина отрезка b, то А = 4 е. Число 4 – это численное значение длины А при единице измерения длины е.

А, следовательно, а = 4 · е, m (a) = 4.

Таким образом, натуральное число х как значение длины отрезка а показывает – из скольких выбранных единичных отрезков е состоит отрезок а и это число единственное. При переходе к другим единицам длины, численное значение будет меняться. Например:

е

__

а

____________________

__

А = 8 е

m (a) = 8

Величина, определяемая одним численным значением, называется скалярной величиной.

IV. Сравнения и действия с числами, выражающими меру величин

Сравнение величин, действия с ними позволяют переходить к сравнению и действиям с числами:

1. Отношения между величинами А и В при сравнении, будут такими же как и между их численными значениями: А = В => m(A) = m(B);

А < В => m(A) < m(B);

A       > B => m(A) > m (B).

2. Чтобы найти численное значение суммы, достаточно сложить численное значение величин:

А + В = С <=> m(A + B) = m(A) + m(B).

3. Чтобы найти численное значение величины В, если В = х · А и величина измерена единицей е, то В = х · А <=> m(B) = х · m(A) – т.е. достаточно умножить число х на число m(A).

Длина отрезка и ее измерение

План:

I. Геометрические величины.

II. Понятие длины отрезка.

III. Методика изучения понятия длины и ее измерения в начальной школе.

I. Геометрические величины

Величина – особое свойство окружающих нас предметов и явлений и проявляется при сравнении предметов и явлений по этому свойству, причем каждая из величин связана с определенным способом сравнения.

Геометрическими величинами являются длина линии (отрезка, ломаной, кривой), площадь фигуры, объем тела, величина угла.

Каждой величине ставят в соответствие положительное действительное число, которое называется его численным значением или мерой. Процесс нахождения этого числа называется измерением величины.

В геометрии, прежде всего, изучают то число, которое получается в результате измерения величины, т.е. меру величины при выбранной единице величины. Поэтому это число называют длиной, площадью, объемом.

Геометрические величины имеют особенности, связанные с их сравнением и измерением (рассмотрены ранее).

II. Понятие длины отрезка

Длиной отрезка называется положительная величина, определенная для каждого отрезка и обладающая следующими свойствами:

• равные отрезки имеют равные длины;

• если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков;

• существует отрезок, длина которого равна 1.

Измерение длины отрезка х состоит в сравнении его длины с длиной отрезка, принятого за единицу. Результатом измерения отрезка является положительное действительное число а, которое называют численным значением длины отрезка х при выбранной единице длины е, или мерой длины отрезка х при выбранной единице длины е, или просто длиной отрезка х:

а = mе (x) или х = а · е.

Число, полученное при измерении длины отрезка, обладает свойствами:

1. При выбранной единице длины длина любого отрезка выражается положительным действительным числом, т.е. m (x) > 0 и для каждого такого числа есть отрезок, длина которого выражена этим числом.

2. Если два отрезка равны, то численные значения их длин также равны, и обратно: если численные значения двух длин отрезков равны, то равны и сами отрезки: х = у <=> m (x) = m (у).

3. Если данный отрезок состоит из нескольких отрезков, то численное значение его длины равно сумме численных значений длин всех отрезков, и обратно: если численное значение длины отрезка равно сумме численных значений нескольких отрезков, то сам отрезок состоит из этих отрезков,

т.е. z = x + y <=> m (z) = m (x) + m (у).

4. Если длины отрезков х и у таковы, что у = ах, где а – положительное действительное число и длина измерена с помощью единицы е, то для нахождения численного значения длины отрезка у при единице е, достаточно число а умножить на численное значение длины отрезка х при единице е, т.е.

у = а· х <=> m (у) = а · m (х).

5. При замене единицы длины численное значение длины увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько раз новая единица больше (меньше) старой, т.е. m1 (x) и m2(x) – численные значения длины отрезка х при единицах длины е1 и е2 , то выполняется равенство

m(х) = m (e1) = m(е2).

III. Методика изучения понятия длины и ее измерения

Методисты считают, что учащиеся начальных классов должны

– получить конкретные представления о величинах,

– ознакомиться с единицами их измерения,

– овладеть умениями измерять величины,

– научиться выражать результаты измерений в различных единицах,

– выполнять различные действия над ними.

По мнению Н.Б. Истоминой можно выделить восемь этапов изучения величин:

1-й этап – выяснение и уточнение представлений школьников о данной величине (обращение к опыту ребёнка);

2-й этап – сравнение однородных величин:

а) визуально (на «глаз»);

б) с помощью ощущений (ощупывание, «взвешивание» на руках);

в) наложением, приложением;

г) с помощью различных мерок.

3-й этап – знакомство с единицей данной величины и с измерительным прибором.

4-й этап – формирование измерительных умений и навыков.

5-й этап – сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного наименования.

6-й этап – знакомство с новыми единицами величин в тесной связи с изучением нумерации и сложения чисел. Перевод однородных величин, выраженных в единицах одного наименования, в величины, выраженные в единицах двух наименований, и наоборот.

7-й этап – сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований.

8-й этап – умножение и деление величин на число.

Знакомство с понятиями длины осуществляется еще в дошкольный период: учащиеся получают представления о понятиях – длинный – короткий, широкий – узкий, высокий – низкий, а коррекция этих понятий осуществляется в концентре «Подготовка к изучению чисел» в 1 классе. К сожалению, многие дети, приходя из детского сада, считают, что длина, ширина и высота – это разные величины.

Н.Б.Истомина отмечает, что в процессе изучения длины как величины учитель решает следующие задачи:

Сформировать понятие длины как свойства предметов.

Познакомить с единицами длины и соотношениями между ними.

Сформировать умения измерять длину данных отрезков и чертить отрезки заданной длины, сравнивать длины.

Научить выражать величины в меньших и больших единицах.

Научить выполнять арифметические действия над величинами.

Ученики нередко также смешивают единицы длины с инструментом, при помощи которого производится измерение,– с линейкой. Чтобы избежать этого и достигнуть достаточно глубокого понимания детьми сущности измерения, целесообразно использовать четкую методику работы с длиной как величиной.

I эт. – выяснение и уточнение представлений школьников о данной величине (обращение к опыту ребёнка). При введении понятия «длина» внимание учащихся необходимо сосредоточить на самом термине «длина», разъяснив соответствующим образом его значение. Учащиеся рассматривают предметы и сравнивают их по своему усмотрению. Так, при проведении беседы можно предложить учащимся сравнить длину карандаша и ручки, которые лежат у них на партах.

II эт. – сравнение однородных величин: визуально (на «глаз»); наложением, приложением. Эти способы сравнения можно назвать опосредованными способами сравнения.

При сравнении используется прием приложения. Затем можно предложить сравнить по картинке длину ручки и кисточки (ручка короче, кисточка длиннее). В данной ситуации дети используют сравнение длин предметов визуально или расположением предметов друг под другом, т.к. изображения нельзя сравнить наложением.

Представления учащихся уточняются: нарисованные предметы обладают свойством, которое называется длина. Данные предметы можно сравнивать по длине. На рисунке должно быть хорошо видно, длина какого отрезка больше, а какого меньше.

Далее отмечается, что отрезки тоже можно сравнивать по длине. Для ознакомления со способами сравнения длин отрезков рекомендуется организовывать практическую работу. Используя полоски из различных материалов, различных цветов, различной длины как модели отрезков, учащиеся сравнивают длины отрезков с помощью различных мерок.

Понятие мерки можно раскрыть на примере мультфильма «38 попугаев».

Можно провести беседу по иллюстрации или просмотренному фрагменту мультфильма:

– Как называется мультфильм, героев которого вы видите?

– Кто герои мультфильма?

– Кого измеряли звери?

– Кем измеряли? Каким способом?

– Чем были слон, мартышка и попугай? (МЕРКАМИ)

– К какому выводу пришел удав? (А в попугаях я длиннее, …)

– Что такое МЕРКА?

Меркой длины могут выступать полоски бумаги.

При использовании различных мерок для измерения одного отрезка учащиеся получают различные числовые результаты. В процессе выполнения практических упражнений они должны осознать зависимость числового результата от величины той мерки, с помощью которой измерялся данный отрезок.