Читать книгу: «Таблица квадратов чисел до 100 за неделю. Как выучить квадраты чисел без зубрежки за неделю», страница 2

Формула квадратов для чисел, оканчивающихся на 5

Эта формула распространяется и на другие случаи умножения двузначных чисел с одинаковым числом десятков и когда сумма единиц равна 10. Один из частных случаев этой формулы применяется для вычисления квадратных корней для чисел, оканчивающихся на 5.

В этой главе приведу частный случай этой формулы. О самой формуле напишу более подробно в другой моей книге.

Формула вычисления квадратов, для чисел, оканчивающихся на 5:

Х5²=Х* (Х+1) *100+5²=Х* (Х+1) 25

Квадраты чисел, оканчивающихся на 5

По сути, если число заканчивается на 5, то нужно число десятков увеличить на 1 и перемножить эти числа, в конце полученного результата дописать 25.

Примеры

1) 15²=1* (1+1) *100+5²=200+25=225;

2) 25²=2* (2+1) *100+5²=600+25=625;

3) 75²=7*8*100+5²=5600+25=5625;

4) 95²=9000+25;

5) 115²=11*12*100+25=13225

На практике никакого умножения на 100 не производится. На самом деле сначала пишут результат умножения числа десятков на следующее за ним число и к нему приписывается 25:

85²=7225.

Доказательство.

Представим число оканчивающееся на 5 как 10*Х+5, где Х-любое число из натурального ряда (5 пример показывает, что число может быть любым, а не только однозначным).

Тогда

Х5²= (10Х+5) * (10Х+5) =100Х²+50Х+50Х+5*5=100Х²+100Х+25=100Х* (Х+1) +25=Х* (Х+1) *100+25=Х* (Х+1) 25

Формула квадратов чисел от 25 до 50

Многие вычислители (ментальные счётчики, фокусники-математики) используют следующую формулу для вычисления чисел из отрезка [25;50].

ХУ²= (ХУ-25) *100+ (50-ХУ) ²

Формула для вычислений квадратов чисел от 25 до 50 включительно

Для использования формулы потребуется хорошее знание квадратов чисел до 25.

Формула квадратов чисел от 50 до 100

Вторая формула применяемая вычислителями, используется для чисел от 50 до 100 включительно:

ХУ²= (ХУ-50) *200+ (100-ХУ) ²

Формула для вычисления квадратов чисел от 50 до 100 включительно

Использование формулы потребует знания квадратов чисел до 50.

Например, для подсчёта квадрата 67, необходимо знание квадрата числа 33=100—67.

Формулы сокращенного умножения

Для вычисления квадратов чисел используют всего две формулы из всех формул сокращенного умножения:

(a+b) ²=a²+2*a*b+b²;

(a‒b) ²=a²—2*a*b+b².

Формулы сокращённого умножения

Формулы сокращенного умножения в школьном курсе используются для подсчета квадратов для чисел близких к круглым.

Например, необходимо подсчитать квадрат числа 41. Тогда по формуле сокращенного умножения легко преобразовать:

41²= (40+1) ²=40²+2*40*1+1²=1600+80+1=1681

39²= (40—1) ²=40²—2*40*1+1²=1600—80+1=1521

Квадрат числа, которое на единицу отстаёт (возрастает) от легковычисляемого квадрата приведены выше. Вычислим квадраты чисел, которые отстают (возрастают) на 2 единицы.

42²= (40+2) ²=40²+2*40*2+1²=1600+160+2²=1764

38²= (40—2) ²=40²—2*40*2+2²=1600—160+4=1444

Далее, если число отстаёт (возрастает) на 3 единицы сложность вычислений немного увеличивается:

43²= (40+3) ²=40²+2*40*3+3²=1600+240+9=1849

37²= (40—3) ²=40²—2*40*3+3²=1600—240+9=1369

Если рассматривать числа, которые отстают (возрастают) на 4 единицы, то сложность вычислений по сравнению с другими методами или даже другим выбором «круглого» квадрата очень большая:

44²= (40+4) ²=40²+2*40*4+4²=1600+320+16=1936

36²= (40—4) ²=40²—2*40*4+4²=1600—320+16=1296

Сравните с другими методами:

а) формула квадратов для чисел от 25 до 50

44²= (44—25) *100+ (50—44) ²=1900+36=1936

36²= (36—25) *100+ (50—36) ²=1100+196=1296;

б) формула сокращенного умножения с выбором другого квадрата

44²= (45—1) ²=45²—2*45*1+1²=2025—90+1=1936

36²= (35+1) ²=35²+2*35*1+1²=1225+70+1=1296

Таким образом можно сделать вывод что формулы сокращенного умножения удобно использовать, если число близко к круглому числу (оканчивающимся на 0 или на 5) на одну единицу. В остальных случаях (числа заканчиваются на цифры 3 и 7) лучше использовать другие формулы для вычислений.