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CAPÍTULO 1
Entre el pizarrón y la pantalla: el lugar geométrico bisectriz como constructo teórico mediado por un software de geometría dinámica

por Rosa A. Ferragina

1. De la geometría sintética a la analítica

Entre todas estas vicisitudes que a grandes rasgos presiden la evolución de la matemática, que considero de interés y actualidad y que se refiere en particular al campo de la geometría. Se trata de una lucha periódica, con períodos variables y alternativos de triunfo y derrota para ambas partes, entre la llamada geometría analítica y la geometría sintética.

Santaló, L., 1960: 10

Las palabras de Santaló nos permiten repensar cómo se conforman estos dos pilares del estudio de la geometría, con avances, relaciones, preferencias, en cuanto a caminos y desarrollos en ambas perspectivas. Es por eso que se hace necesario contar con los aportes de una bibliografía que dé cuenta de estas posiciones a través de los años y, que la conforme como fundante en el recorrido que propondremos. El análisis de fuentes históricas-epistemológicas, nos posibilitará realizar un replanteo de la relación actual entre estas dos perspectivas geométricas y, cómo puede ser influenciada cuando incorporamos en el análisis un software de geometría dinámica (SGD).

Historiadores como Rey Pastor y Babini (1980), Boyer (1994) y Collette (1980) sostienen un carácter práctico como origen de la Geometría, ya que su nombre alude a “medir la tierra” y a lo que medían: longitudes, ángulos, superficies y volúmenes de los utensilios que fabricaban. De ese modo, las comunidades descubrían relaciones entre sus elementos, que hoy llamaríamos fórmulas, con las que planteaban y resolvían problemas que hacían referencia a cuestiones particulares que necesitaban. Las relaciones que encontraron fueron basales para la conformación de la obra Elementos, escrita por Euclides (300 a.C., aprox.). Este es un texto que compendia toda la matemática elemental de la época: la aritmética o teoría de números, la geometría sintética (de puntos, rectas, planos, círculos y esferas) y el álgebra (como una interpretación de relaciones geométricas).

Tenemos, entonces, una primera caracterización de la geometría sintética como la que utiliza los métodos de los Elementos de Euclides para resolver problemas de construcción geométrica con regla y compás. Un gran número de esas construcciones no hacen referencia a las medidas de los elementos (lados, ángulos, radios, medianas, bisectrices, etcétera) que caracterizan a las figuras geométricas.

El surgimiento de otra perspectiva geométrica tuvo que esperar años, más exactamente siglos. El siglo XVII pone en contacto los antiguos problemas griegos de la mano de traducciones árabes, la consolidación de los avances algebraicos y la reinterpretación de las obras de Euclides, Arquímedes, Apolonio, Diofanto y Pappus, le otorgan a la geometría un método de generalidad que no tenía. Descartes (1596-1650) y Fermat (1661-1665), con la Geometría e Introducción a la teoría de los lugares planos y espaciales, respectivamente, dan inicio a lo que actualmente se conoce como una rama de la matemática, la geometría analítica. Estos trabajos tienen basamentos en la geometría griega, pero plantean como premisa principal encontrar nuevos métodos que sean más simples, operativos y, sobre todo, más generales.

Diversos autores (Kline, 1999; Courant y Robbins, 1996; Puig Adam, 1976)1 concuerdan acerca de que el nombre apropiado para los avances propuestos por Descartes y Fermat sería “geometría de coordenadas”. Entonces, ¿por qué transcendió con la palabra “analítica”? Este término, desde Platón, es considerado como el proceso deductivo que se realiza partiendo desde lo que se quiere probar hasta llegar a una verdad conocida. Descartes consideraba que “análisis” era la palabra apropiada porque el álgebra servía para “analizar” el problema de construcción geométrico considerado. Luego, con el avance algebraico, se dejó de considerarla solo como una herramienta aplicable a la geometría para ser un método de estudio de las curvas. Por lo que, “geometría analítica” hace referencia tanto al proceso de demostración como a la aplicación del método algebraico.

Acordamos con la posición de Collette (1980), puesto que no se refiere a uno de los dos matemáticos, Descartes o Fermat, como “descubridor” de la geometría analítica. Collette analiza sus trabajos como una caracterización de sus posturas, que consideramos relevantes en el desarrollo de este capítulo:

- Cada uno contribuyó, de un modo independiente, en el reconocimiento de que una ecuación dada con dos incógnitas puede considerarse como la determinación de una curva plana, con respecto a un sistema de coordenadas.

- Cada uno, con métodos algorítmicos propios, intenta vincular estrechamente la ecuación y la curva correspondiente.

- Fermat tiene como idea fundamental el logro de la ecuación de la curva de un modo más claro que Descartes.

- Descartes cubre problemas de un campo más amplio y general que el de Fermat, quien trabajó casi específicamente sobre las ecuaciones de primero y segundo grado.

- Ambos autores continuaron los trabajos de Vieta en direcciones diferentes. Descartes trabaja sobre la construcción geométrica de las raíces de ecuaciones algebraicas, dotándola de un simbolismo más apropiado. Fermat, conserva la notación de Vieta y la aplica a otro tema, el estudio de los lugares geométricos.

- “En general, se puede decir que Descartes comienza con un problema de lugar geométrico a partir del cual obtiene una ecuación del lugar, mientras que Fermat se preocupa más de partir de una ecuación y de deducir las propiedades de su curva” (Collette,1980: 27).

Rescatamos las palabras de Kline (1999), en consonancia con lo propuesto por Collette en el último párrafo, puesto que se refieren a cómo cada matemático realiza la asociación de curvas y ecuaciones:

Aunque la idea sobresaliente para el futuro de las matemáticas era la de asociar ecuación y curva, para Descartes esto no era más que un medio para un fin, a saber, la resolución de problemas de construcciones geométricas. El énfasis de Fermat en las ecuaciones de lugares geométricos es, desde el punto de vista moderno, más oportuno (Kline, 1999: 419).

Esta asociación curva-ecuación puede darse de dos maneras diferentes.2 Construimos una curva mediante propiedades geométricas (Descartes). Esa curva tiene asociada su propia ecuación, que la caracteriza a ella y no a otra. Partimos desde la ecuación de una curva y explorando el comportamiento algebraico de la misma, podemos descubrir las propiedades geométricas que la constituyen (Fermat). Pero, ¿qué es la ecuación de una curva? Es la relación que se obtiene entre uno o varios valores de ordenada para una misma abscisa. Y esa curva trazada no es otra cosa que la solución geométrica de un problema indeterminado, es decir, que tiene una infinidad de soluciones: es lo que los antiguos llamaban lugar geométrico.

Jourdain (1919) en su libro La naturaleza de la matemática, suscribe que hay dos ramas de la matemática que actúan como conectores entre la esencia de la matemática antigua y la moderna: el método del análisis geométrico y el álgebra griega de los tiempos de Diofanto. Además, postula que el proceso del descubrimiento matemático es algo vivo y en desarrollo. En ese proceso, el autor asigna a los lugares geométricos (loci en el original) un lugar preponderante porque la cuestión de los lugares geométricos está relacionada con el análisis geométrico, y difícilmente puede disociarse esa noción de la imagen mental de un punto en movimiento. Imagínese un punto obligado a moverse solo según cierta curva. Es claro cómo el imaginarnos el locus que puede describir un punto resultará útil para la resolución de problemas (Jourdain, 1919:31).

La idea de que alguna curva (locus, en el original y refiriéndose a cualquier línea continua, sea recta o no) pueda ser engendrada por puntos en movimiento no estaba presente en las demostraciones finales de las propiedades geométricas en los tiempos de la matemática griega. Esto implicaría realizar algunas concesiones intrínsecas a la noción de movimiento, como la de utilizar frases gráficas intuitivas para propiciar ideas matemáticas que necesitarían de procesos más complejos de explicación. Por eso, se necesitaron tiempos más modernos, alejados del rigor lógico, para relacionar un punto en movimiento con la idea de variabilidad, de diferentes posiciones en tiempos distintos (Jourdian, 1919).

Pero, ¿cómo caracterizan los lugares geométricos dos textos que han sido fundantes como bibliografía en la cuestión? Nos referimos a los clásicos Geometría Analítica de Rey Pastor, Santaló, y Balanzat (1959) y Curso de Geometría Métrica. Tomo I. Fundamentos de Puig Adam (1976).

Puig Adam analiza a estos lugares como propiedades o teoremas que cumplen condiciones necesarias y suficientes (acorde con Descartes): “cuando una figura contiene todos los puntos que cumplen una determinada propiedad, y, recíprocamente, solo contiene puntos que la cumplen, se dice que es el «lugar geométrico» de dichos puntos” (Puig Adam, 1976: 37).

Rey Pastor, Santaló y Balanzat proponen que la idea básica de la geometría analítica es la representación de los lugares geométricos por ecuaciones y el estudio de las figuras correspondientes a esas expresiones con métodos algebraicos (más acorde con Fermat). Para caracterizar los lugares geométricos escriben: “recuérdese que se llama lugar geométrico al conjunto de todos los elementos que cumplan una o varias condiciones prefijadas; es decir pertenecen al lugar «todos los elementos que cumplen tales condiciones y solo ellos»” (Rey Pastor, Santaló y Balanzat, 1959: 26). Al presentar algunos ejemplos básicos (los ejes cartesianos, rectas paralelas a los ejes y bisectores), parten de sus respectivas ecuaciones y analizan qué significado tienen. Por ejemplo, para la ecuación y = 0 impone al punto (x; y) la condición de tener nula la y, siendo cualquiera la x; es decir, satisfacen esa condición todos los puntos del eje x, ellos y solo ellos. Por lo que, este conjunto o lugar geométrico tiene la ecuación y = 0. La cuestión podría ser entonces, preguntarse por qué no asociar la constitución de los lugares geométricos con la idea de movimiento: el lugar geométrico del ejemplo (y =0) puede escribirse como la expresión de un punto en coordenadas cartesianas (x; 0) que concuerda con lo que dice Jourdain (1919) sobre un punto que se mueve obligado a hacerlo sobre una curva, que es el eje de abscisas.

Creemos oportuno mencionar que la mayoría de los textos sobre geometría analítica, siguen la caracterización de los lugares geométricos como condiciones necesarias y suficientes, dedicándose luego a encontrar las ecuaciones correspondientes mediante la asociación con el sistema de coordenadas cartesianas. Esto supone que existe un acuerdo en la caracterización básica de los lugares geométricos de la geometría sintética, que retoman (como un recuerdo) los textos de la analítica pero que luego no los relacionan con las técnicas de construcción sintética, ni con sus respectivas simbolizaciones algebraicas, sino que directamente realizan desarrollos vinculados a un sistema de coordenadas cartesianas.

Sobre la base de lo expuesto en este apartado, podrían surgir los primeros interrogantes, que no son independientes, combinando de una forma implícita o explícita cuestiones matemáticas históricas-epistemológicas y, de cómo estas se replantean, reformulan, amplían cuando se incorpora un SGD en el tratamiento de un tema específico.

- ¿La consideración del análisis geométrico propiciaría una continuidad entre las dos perspectivas geométricas presentadas, sintética y analítica? Si es así, ¿qué cuestiones epistemológicas lo sustentarían?

- ¿El tratamiento de los lugares geométricos como la imagen de un punto en movimiento favorecería a la construcción de que el conocimiento matemático es algo vivo y en desarrollo? De ser así, ¿qué problemas se propondrían para colocarlo en un primer plano?

- ¿La incorporación de un SGD favorecería una nueva construcción teórica de los lugares geométricos para realizar de ese modo, el análisis geométrico presente en las dos perspectivas geométricas? De ser así, ¿qué problemas seleccionar para dar respuesta a estos propósitos específicos?

2. Euclides y Apolonio. Algo más que problemas de tangencia

En la búsqueda de algún lugar geométrico que posibilitara una reformulación de su caracterización, seleccionamos la bisectriz. Es un objeto básico en el estudio de las relaciones geométricas. Es frecuente su aplicación como condición de bisecar un ángulo. Tiene diversos procedimientos de construcción sintética, no todos debidamente fundamentados. Se determina su condición de lugar geométrico, solo porque es una recta y no por las propiedades intrínsecas que conlleva esta acepción. Por eso, creemos que el objeto bisectriz podría ser reformulado desde una perspectiva dinámica, al considerar la caracterización de Jourdain (1919) para los loci y cómo implementarla mediante un SGD, como GeoGebra.

En la línea histórica-epistemológica, la relación entre dos de los trabajos de Euclides (330-275, a.C., aprox.) y Apolonio (262-200, a.C.) nos muestra un recorrido posible.

Comenzaremos analizando lo que propone Euclides en el Libro IV de los Elementos, porque puede ser un aporte fundante en el que la bisectriz es un lugar geométrico y para ver cuáles son los tipos de problemas en los que interviene. La Proposición III, dice: “construir en torno a un círculo dado un triángulo de ángulos iguales a los de un triángulo dado”(1991: 344). Euclides explica con detalle cómo construir los ángulos iguales a los dados desde el centro K, comenzando en un punto B cualquiera y trazando el radio correspondiente, aunque el autor habla de la recta KB (figura 1).

Sobre la base de que los ángulos correspondientes a los puntos A, B y Γ son rectos, lo cual ha sido probado en el Libro III, Euclides aplica propiedades de los ángulos de un triángulo y de un cuadrilátero para probar que los ángulos del triángulo ΛMN son iguales a los del triángulo dado y que está circunscripto a la circunferencia.

No se hace una referencia específica a la tangencia de los lados del triángulo respecto de la circunferencia, es posible suponer que como ese tema Euclides lo analiza en el libro anterior,3 ahora con una mención a la ubicación fuera suficiente en el Libro IV. Este esquema de tratamiento de las propiedades no permitiría un tratamiento integral de las mismas y el surgimiento de nuevas preguntas respecto de la figura que se construye. Por ejemplo, al centrar la visualización en la igualdad de los segmentos AK y K Γ y su perpendicularidad respecto de los lados del ángulo MΛN (figura 1), ¿por qué se trazan perpendiculares?, ¿es el punto K el único que cumple la condición de estar a igual distancia de los lados de un ángulo?, ¿las medidas de ΛA y ΛΓ son iguales?, ¿se hace necesaria la construcción de la circunferencia? Estas preguntas, orientan a formar otra imagen del concepto (“concept-image”, Vinner, 1991)4 bisectriz, porque parece intuitivo considerar que los otros puntos del segmento ΛK cumplirán la condición de distancia respecto de los lados por la simetría de la figura y las duplas de triángulos rectángulos que se forman son iguales (figura 2). Por lo tanto, los otros elementos también lo son, entre ellos los ángulos AΛK y KΛΓ, siendo entonces el segmento ΛK parte de la bisectriz del ángulo.

Este problema de construcción sintética serviría para relacionar las dos caracterizaciones de la bisectriz, primero por la condición de que todo punto de la misma equidista de los lados y, por la formación de los triángulos rectángulos iguales, que biseca al ángulo. Colocamos en orden inverso las definiciones del concepto bisectriz que dan los textos, en los que primero se la define como la semirrecta que divide al ángulo en dos iguales (lo cual está relacionado con la propia etimología de la palabra) y, luego los puntos que la forman equidistan de los lados del ángulo. Es decir que se construye la bisectriz del ángulo y luego se comprueba la condición de un locus.

De este modo, ese locus surge como algo estático y no de la imagen mental de un punto en movimiento, obligado a moverse. Y, como es esa construcción la que queremos destacar, analizaremos estas discusiones cuando la imagen visual del concepto está mediada por un SGD como GeoGebra.

Llegamos a una decisión sobre el software que utilizaremos para el análisis del problema y podríamos cuestionarla. Por eso, dos justificaciones posibles:

- Un SGD es, básicamente, un editor gráfico que dibuja figuras geométricas mediante definiciones matemáticas para convertirlas en objetos geométricos y, al modificarlas posibilitan analizar qué relaciones geométricas están presentes en la construcción realizada. Es posible nombrar varios SGD, entre ellos GeoGebra, que es un software libre y que, según su creador Markus Hohenwarter, fue inicialmente pensado para establecer un enlace dinámico entre geometría y álgebra, al que luego se le fueron agregando otros módulos que funcionan como hoja de cálculo, sistema algebraico computacional (CAS) y la representación de objetos en 3D (Lindner y Hohenwarter, 2016). El enlace dinámico del que habla su creador está presente en GeoGebra por default, cuando se abre el software y la pantalla partida en dos, muestra a la derecha la Vista Gráfica (donde se realizan las representaciones de los objetos geométricos) y la izquierda la Vista Algebraica (en la aparecen las expresiones que la geometría de coordenadas les asigna). Por lo que este software tiene sus bases estructurales en el fundamento matemático esbozado en los trabajos de Descartes y Fermat, es decir, en la estrecha vinculación entre la ecuación y la curva correspondiente. El programa, de un modo automático para cualquier construcción de un objeto geométrico (utilizando las herramientas que provee), la asocia con una expresión, en la Vista Algebraica. La barra de herramientas de GeoGebra (la versión con la que trabajaremos es la 5.0, pero es igual en las posteriores) contiene varias referidas a los lugares geométricos (figura 3). Mediatriz y bisectriz como construcciones directas dependiendo de un segmento, ángulo o de dos rectas, respectivamente. La utilización de estas herramientas no aludiría a que se trata de lugares geométricos, sino que estarían caracterizadas por una consecuencia de la propiedad correspondiente. Recta perpendicular que pasa por su punto medio, para la primera, y que divide al ángulo en dos partes iguales, en la segunda. Por lo que, se haría necesario proponer problemas en los que emerjan esta necesidad de vincular, por ejemplo, a la mediatriz y bisectriz con lugares geométricos.

- El manual de GeoGebra 55 explicita que “todo lugar geométrico (locus) es un objeto especial que específicamente queda trazado por el uso del comando o de la herramienta Lugar Geométrico correspondiente. El lugar lo traza un punto que dependerá de otro punto sobre un recorrido (puede ser una recta, una semirrecta, una circunferencia o un segmento/intervalo) o de un deslizador”. Podríamos decir que la herramienta Lugar Geométrico (LG), estaría acorde con lo que propone Jourdain (1919) porque si bien no hace una referencia directa a un punto móvil, se menciona que el lugar geométrico está generado por un punto y que ese punto depende de otro que se encuentra en otro objeto geométrico. Y en un SGD, cuando el segundo punto se mueve sobre ese recorrido, el punto que depende de él también se moverá con otro recorrido posible.

Volvemos al problema para realizar la construcción geométrica con el software. Las condiciones básicas de la misma son tres puntos A, B y C, se construyen las respectivas semirrectas y luego un punto D sobre el lado BC (figura 4), que actuará como “punto sobre un recorrido”. La determinación del punto F, se logra por intersección de las perpendiculares a los lados del ángulo desde D y E (siendo los segmentos BD y BE iguales por construcción).

En esta construcción el arrastre del punto D sobre el lado nos hace preguntarnos qué punto es el que determinará el lugar geométrico que está oculto (Arzarello y otros, 2012), ¿es E o F? Por las condiciones de obtención de esos puntos descartamos a E, que solo se moverá sobre el otro lado del ángulo. Las diferentes posiciones del punto D, dadas por el arrastre, condicionan las de F, que se ubican sobre una semirrecta interior al ángulo. Al combinar la propiedad Rastro y la herramienta LG, se visualiza que se superponen (figura 5). Además, la figura así construida puede ser el insumo para probar que los triángulos formados son iguales y que BF es la bisectriz del ángulo.

Esta construcción nos permite proponer una nueva caracterización de bisectriz acorde con un entorno dinámico y que también recupera la idea de Jourdain (1919): “Punto que se mueve sobre el lado de un ángulo, de modo que la perpendicular trazada desde él, se intercepte con otra perpendicular trazada desde un punto que está a la misma distancia del vértice, en el otro lado del ángulo”.

¿Se modifica la caracterización anterior de bisectriz si el ángulo está determinado por la intersección de dos rectas? Si seguimos los mismos pasos de construcción anteriores, el Rastro y LG aplicados a F forman dos semirrectas perpendiculares, ¿por qué? Hay dos puntos que están a la misma distancia del vértice que D, con lo que se obtiene otro punto de intersección. Los loci que ha marcado el software se corresponden con una reformulación de bisectriz cuando los ángulos en cuestión se forman por dos rectas que se cortan y se aplica la relación de que ese punto móvil se desplaza sobre toda la recta. Constituyendo la solución dos rectas (bisectrices) que son perpendiculares entre sí, al considerar que se forman pares de ángulos adyacentes (figura 6).

En el análisis de esta nueva caracterización, la incorporación de un software de geometría dinámica como un medio (milieu) físico (Brousseau, 2007) posibilitó modelizar el entorno del objeto matemático bisectriz y así modificar el conocimiento que tiene sobre él la persona que realiza la construcción dotándola de otro sentido. Esa interacción con el medio software permite que:

- se tomen decisiones (desde qué punto trazar las perpendiculares),

- se elijan estrategias (qué tipo de herramientas del software se utilizan en la construcción),

- se produzcan argumentos de validación (la constitución de un locus),

- se tomen nuevas decisiones (la reformulación del concepto bisectriz cuando se trabaja en un entorno dinámico).

En esta problemática no analizamos por separado el tema (bisectriz como locus) y el medio (para modelizar), sino las interacciones que se establecen entre ellos por las acciones del primero y las retroacciones del segundo.

Además, esa interacción lleva implícita un tipo de tareas, como es trazar una perpendicular desde un punto del lado del ángulo, porque expresa una acción mediante un verbo y se aplica a un objeto definido (Chevallard, Bosch y Gascón, 2000). Hemos logrado una técnica, como manera de resolver este tipo de tareas relacionadas por un razonamiento que la valida, porque:

- pone de relieve al objeto sobre el cual se trabaja, que es el ángulo y sus elementos,

- no menciona la condición de equidistancia respecto de los lados del ángulo, porque la perpendicular se traza desde un punto del lado y no desde un punto de la bisectriz, como una comprobación,

- el punto que genera el locus se obtiene por otra técnica sintética, la de los dos lugares geométricos, considerando que toda recta es un lugar geométrico.

Cualquier técnica requiere de algún discurso teórico que la sustente, pero cuando esa técnica está mediada o instrumentada hace necesaria la construcción de ese discurso, que relacione tres tipos de conocimiento: el matemático en sí, el que se tiene sobre el artefacto (software) y el de la transposición6 que realiza el segundo respecto del primero (Artigue, 2003).

El discurso de esta técnica instrumentada, bisectriz como locus, se basa en los de técnicas sintéticas realizadas con lápiz y papel, por lo que está asegurada la validez de su funcionamiento.

El conocimiento del artefacto (SGD, GeoGebra) puede realizarse de formas diferentes: a través del uso de las herramientas (a modo de comprobación de lo que realiza una herramienta específica), leyendo en su manual cómo las caracteriza (qué sustento epistemológico tiene su implementación) y creando nuevas herramientas. Para el caso de la herramienta Bisectriz, es posible aplicarla (el manual dice erróneamente “definir”) construyendo tres puntos (solo traza la recta interior al ángulo) o dos rectas (traza las bisectrices del par de ángulos opuestos por el vértice que se forman). En este último caso, lo que construye el software es coincidente con lo que se produce como resultado de esta nueva caracterización del locus bisectriz. Por lo que, es posible aplicar la herramienta Bisectriz cuando el problema necesite de la bisectriz como instrumento (apropiada e incorporada a la actividad geométrica), pero no es adecuada cuando se necesita un objeto reconstruido con técnicas sintéticas.

Para determinar la formación de este locus hemos utilizado, alternativa o conjuntamente, Rastro y LG, que colocan el foco sobre qué caracterización subyace en un SGD como GeoGebra.

Rastro no es un objeto construido por el software, son solo huellas de pixeles en la pantalla que sugieren una representación dinámica de la trayectoria de un punto. Este comportamiento del punto geométrico no es permanente porque al actualizar la Vista Gráfica o aplicar zoom, estas huellas desaparecen. Incluso el manual del software sugiere que es posible obtener un trazo permanente del probable recorrido del punto mediante el empleo del comando o herramienta LG. De todos modos, puede ser útil para llegar a una primera aproximación de lo que se está buscando y se relaciona con esa imagen mental de punto en movimiento a la que alude Jourdain (1919). Así, se conforma una figura como un conjunto de puntos con ciertas características, es la primera condición que expresan las definiciones de los textos clásicos sobre los loci, los cuales luego podrán validarse mediante otras herramientas que ofrece el software o bien con la utilización complementaria de técnicas algebraicas.

La herramienta LG construye un nuevo objeto geométrico que requiere de determinadas condiciones para su obtención y su resultado aparece de un modo completo e instantáneo en la pantalla, como si fuera una prioridad la obtención total de esa curva y no su construcción. Si bien LG aporta un enfoque similar a una transformación punto a punto para un locus, la forma estática de representarlo se focalizaría en que ese punto que lo construye está obligado a moverse sobre la curva en cuestión (Jourdain, 1919) y, solo “esos puntos”.

Por lo que, generar la bisectriz como locus hace necesario crear tipo de tareas como las analizadas, que combinen lo que trae incorporado el software referente a LG, con técnicas sintéticas instrumentadas. La combinación de la transposición didáctica con la informática nos lleva a preguntarnos para qué tipo de problemas es apropiado considerar a la bisectriz como locus. Los problemas que relacionen distancias de punto a recta o entre rectas podrían ser un punto de partida, por lo menos para considerar si con su construcción aportan para la resolución. Esto conllevaría a realizar una reformulación de cómo organizar los problemas geométricos, históricos o no, para que emerja este objeto mediado por un SGD y poner en primer plano una característica del mismo que antes se consideraba como una consecuencia de dividir al ángulo en partes iguales. En esta línea, Balacheff (2000) advierte que introducir un software educativo, como GeoGebra, es un proceso complejo desde el punto de vista didáctico porque se materializan los objetos matemáticos mediante una simbología tecnológica, que modifica al objeto en sí como resultado de ese proceso de transposición informática y, también el conocimiento que se tiene de ese objeto.

2.1. ¿Un problema o un campo de problemas?

En el apartado anterior y sobre la base de lo que explica Euclides en el libro IV, proposición III, de Elementos, puede ser considerado como un problema fundante, por decirlo de algún modo, para que la bisectriz sea tratada como locus aunque no era el propósito del autor.

Tangencias es un tratado escrito por Apolonio, que actualmente se conoce con el nombre de Problema de Apolonio y con el siguiente enunciado: “Dados tres elementos, cada uno de los cuales puede ser un punto, una recta o una circunferencia, trácese una circunferencia que sea tangente a cada uno de los tres elementos dados (donde debe entenderse que ser tangente una circunferencia a un punto es pasar por él” (Boyer, 1994: 191). Según los elementos que se combinen, este problema puede subdividirse en 10 casos posibles.7 Los dos más simples, en que los elementos son tres puntos o tres rectas, ya habían aparecido en los Elementos de Euclides, al relacionarlos con las circunferencias inscriptas y circunscriptas a un triángulo. En el Libro IV, Proposición IV, Euclides analiza cómo inscribir un círculo en un triángulo. El autor toma como base de esa construcción las bisectrices del triángulo, no como lugar geométrico, y demuestra la tangencia por la igualdad de los seis triángulos que se forman y que las perpendiculares trazadas desde el centro son únicas (figura 7).

Si Euclides hubiera considerado que la bisectriz es un locus generado, como en el apartado anterior (con técnicas sintéticas), no haría falta demostrar la igualdad de triángulos y solo debería encontrar el punto de intersección de dos de ellas (técnica de los dos lugares geométricos), que es el centro de la circunferencia y desde él una perpendicular al lado, para determinar el radio o bien otro punto de la circunferencia y así construirla. Por la forma en la que está acotado el problema a un triángulo en Euclides, esta circunferencia trazada es la única solución posible, la cual representará una diferencia sustancial con la propuesta de Apolonio porque el enunciado correspondiente a esta opción es: “dadas tres rectas, trácese una circunferencia que sea tangente a cada una de ellas (donde debe entenderse que ser tangente una circunferencia a un punto, es pasar por él)”. Este enunciado no hace referencia a las posiciones de las rectas, si se cortan dos a dos, o si hay paralelismo entre ellas y, por eso resultará potente desde un análisis didáctico, porque abre posibilidades de otras soluciones fuera de la figura del triángulo.