Читать книгу: «Невозможность второго рода. Невероятные поиски новой формы вещества», страница 5

Глава 5
Взгляните на нечто невероятное

В большинстве своем научные прорывы распознаются медленно, подобно силуэту корабля, постепенно проступающему в густом тумане. Однако открытие того, что квазикристаллы – это реальность, а не просто гипотетическая идея, было подобно вспышке. Мне посчастливилось наблюдать эту вспышку, и это был незабываемый опыт.

Йорктаун-Хайтс, Нью-Йорк, 10 октября 1984 года

Все началось совершенно непримечательным осенним днем. Получив отпуск в Пенсильванском университете, я на несколько месяцев перешел в Исследовательский центр IBM имени Томаса Дж. Уотсона чуть к северу от Нью-Йорка, где надеялся поработать в лаборатории с другими учеными над созданием первого в мире синтетического квазикристалла.

В тот день мой бывший коллега, гарвардский физик Дэвид Нельсон, должен был вести семинар в Центре и планировал ненадолго заглянуть в мой кабинет. Дов тоже собирался прийти – мы планировали удивить Дэвида. Мне не терпелось поделиться нашей с Довом работой над безумной идеей о новой форме вещества, которая выросла из более ранней совместной работы с Дэвидом над быстро остужаемыми жидкостями.

Мы с Дэвидом не виделись несколько лет и тепло приветствовали друг друга. У него был все тот же отложившийся в моей памяти вид аккуратного мальчика, подчеркиваемый очками в проволочной оправе. Я давно предвкушал эту встречу, зная, как ему понравится то, что мы с Довом собирались ему показать.

Патентную заявку на нашу идею мы с Довом подали еще годом раньше, однако не распространяли раскрываемую в ней информацию в научных кругах. Юристы из Пенсильванского университета незадолго до того пришли к выводу, что, хотя наша идея была “важным открытием… инновационным и неочевидным… полезность этого открытия остается спорной”. По сходным причинам мы на тот момент еще не подавали нашу квазикристаллическую теорию в научные журналы. Было ясно, что нужно получить экспериментальное подтверждение наших “спорных” заявлений, прежде чем мы сможем опубликовать свою идею. Так что к моменту, когда Дэвид пришел к нам и уселся для разговора, он ничего о нашей работе не слышал.

Я начал со слов о том, что мы с Довом хотим показать ему нечто удивительное. Но прежде, чем я продолжил, Дэвид прервал меня, сказав, что и у него есть нечто удивительное, что он хочет показать мне. Мы рассмеялись и согласились уступить гостю приоритет.

Дэвид вытащил из портфеля препринт, то есть отпечатанную версию научной статьи, поступившей в профессиональный журнал для тщательного рецензирования коллегами на предмет принятия ее к публикации. В те времена, как и сейчас, обсуждение препринтов было обычной практикой. Однако методы их распространения в доинтернетовскую эпоху были куда менее эффективными.

Статья была подана группой в составе Дэна Шехтмана, Илана Блеха, Дэниса Гратиаса и Джона Кана.

Я сразу был ошеломлен заголовком: “Металлическая фаза с дальним ориентационным порядком и без трансляционной симметрии”. Погодите, – подумал я. – Без трансляционной симметрии? Это подразумевает, что атомы в их материале расположены беспорядочно. Ориентационный порядок? Это значит, что межатомные связи выровнены.

Такой заголовок в сочетании с тем, что показал мне его Дэвид, позволял предположить, что статья должна быть связана с компьютерным моделированием, которым мы занимались тремя годами ранее, тестируя его “кубатическую” идею.

Ага, вот почему он показывает мне этот препринт, – подумал я. – Это похоже на экспериментальную проверку наших прежних догадок.

Я быстро взглянул на аннотацию, чтобы проверить свое первое впечатление, и внезапно почувствовал, как на меня нахлынула тревога. Авторы исследовали странный новый сплав алюминия и марганца, когда обнаружили… О боже!.. “Четкие дифракционные пятна, расположенные с икосаэдрической симметрией”.

Я почувствовал, как подскочил мой пульс. Это было определенно не то, над чем мы работали с Дэвидом. Это больше походило на концепцию квазипериодического кристалла, которую мы с Довом изобрели, но еще не опубликовали.

Неужели нас опередили? – подумал я.

Я торопливо дочитал остаток аннотации и успокоился, убедившись, что ответ был отрицательным. В статью не была включена теоретическая модель, поскольку, как я позднее узнал, модель Шехтмана – Блеха была признана неубедительной. Статья была, по сути, анонсированием сырых экспериментальных данных без попыток теоретического объяснения. Она не повторяла наши с Довом труды всех этих лет.

Переборов приступ сопернической агрессии, я стал листать остальные страницы препринта в поисках подробностей. Когда я дошел до страницы 8, у меня буквально перехватило дыхание, поскольку я увидел перед собой очень знакомую дифракционную картину. Она совпадала с рисунком, который мы с Довом предсказали для квазикристалла с характерной симметрией икосаэдра. Невозможно.

Я почувствовал, как у меня заколотилось сердце, а в голове словно начался салют. Я немедленно понял, что это значит.

Квазикристаллы существуют! Вот доказательство того, что безумная идея, над которой мы с Довом столько работали, в действительности не такая уж безумная!

Я знал, что это был исключительный момент. На какое-то время, пускай ненадолго, я был единственным человеком, который видел и экспериментальную, и теоретическую дифракционную картину. Я был единственным человеком на земле, который точно знал, что квазикристаллы только что стали научной реальностью.

Я приложил все силы к сохранению нейтрального выражения лица, чтобы задержать мгновение и еще немного посмаковать это ощущение. В следующий момент я вскочил со стула и, не говоря ни слова, пересек кабинет, чтобы взять со стола единственный лист бумаги, который я приготовил к этой встрече. Все еще стараясь подавить улыбку на лице, я медленно вернулся к сидящим Дэвиду и Дову.

– А вот, Дэвид, – сказал я как можно спокойнее, – удивительная вещь, которую мы хотели показать тебе.

В правой руке у меня был только что взятый со стола листок с рисунком дифракционных пиков, предсказанным нами с Довом для квазикристалла. В левой руке я держал препринт, раскрытый на странице с экспериментально полученной дифракционной картиной.

И эти два узора совпадали.

Посвященный в нашу работу Дов среагировал мгновенно:

– Боже правый!

Не знаю, о чем подумал Дэвид. Но у нас с Довом не было ни малейшего сомнения в том, что именно только что произошло. Две исследовательские группы, работавшие в лабораториях, разнесенных всего на 250 километров, и совсем ничего не знавшие друг о друге, умудрились абсолютно независимо совершить взаимодополняющие научные прорывы.

Мы с Довом изобрели теорию квазикристаллов, но у нас не было экспериментального доказательства. В статье Шехтмана был эксперимент, но не было теоретического объяснения. У каждой группы была часть деталей одного пазла. Собранные вместе, они являли собой важнейшее, можно даже сказать фундаментальное, открытие, касающееся устройства мира.

Дэвид начал расспрашивать о том, как нам удалось спрогнозировать дифракционную картину в виде снежинки. Мы с Довом пытались отвечать на его вопросы и подробно объяснять детали нашего исследования. Но, по правде говоря, мы едва сдерживались и буквально кипели от почти неконтролируемого возбуждения вплоть до конца встречи.

Мы с Довом ликовали, поскольку наша теория могла объяснить невозможный, казалось бы, экспериментальный результат. Но, к сожалению, это также означало, что у нас нет времени для торжества. Я сказал Дову, что нам нужно бросить все остальные дела и свести воедино результаты, накопленные нами за последние три года. Нужно было выделить самые важные моменты и написать короткую статью-анонс в Physics Review Letters. Затем необходимо было подготовить намного более обстоятельную статью с полным изложением результатов.

Я знал, что все это можно сделать быстро, поскольку мы уже завершили огромный объем исследований. Это был лишь вопрос определения приоритетов в подаче материала и выбора того, какие части и в каком порядке представлять.

Наша статья для Physics Review Letters начиналась с введения понятия “квазикристалл”. Мы объясняли, что квазикристаллы являются новой формой вещества с квазипериодическим упорядочением атомов и симметрией, которая долгое время считалась невозможной. Далее мы показывали, что твердые субстанции с такими свойствами имеют электронную дифракционную картину, полностью состоящую из четких брэгговских пиков. В ней нет размытых пиков и туманных облаков между ними. Мы объясняли, как устроены наши атомарные строительные блоки, ромбоэдры, и как работают придуманные нами правила совмещения, позволяющие атомам соединяться в квазипериодическую схему. Также мы представляли иллюстрации с предсказанными дифракционными картинами – кульминацией трех лет теоретических исследований.

Затем мы переключили внимание на результаты команды Шехтмана. Поскольку их статья еще не была отрецензирована и опубликована, оставался шанс, что их сплав окажется не квазикристаллом, а чем-то иным. Поэтому мы с Довом высказались осторожно, не делая утверждения о точном совпадении:

Мы показываем, что недавно наблюдавшаяся электронная дифракционная картина для алюмомарганцевого сплава очень близка к той, что дает икосаэдрический квазикристалл.

Менее чем через три недели после нашей судьбоносной встречи с Дэвидом Нельсоном мы с Довом подали в журнал свою статью с теоретическим объяснением устройства этой невероятной новой формы вещества. В заголовке мы формально представили научному сообществу ее название: “Квазикристаллы: новый класс упорядоченных структур”.

К этому моменту мы с Довом готовы были установить контакт с экспериментальной группой и рассказать им о наших поразительных новостях. Оказалось, однако, что Дэвид Нельсон уже написал Джону Кану в Национальное бюро стандартов и сообщил, что мы с Довом разработали потенциально связанную с их работой теорию. Так что мне не было нужды представляться. Мы быстро договорились с Джоном и его коллегой и соавтором французским кристаллографом Дэнисом Гратиасом об их визите к нам с Довом в Йорктаун-Хайтс.

Джон Кан оказался крупным мужчиной с приветливым лицом. Мы никогда прежде не встречались, но, хоть ему это было неведомо, я питал сильный профессиональный интерес к некоторым важнейшим, на мой взгляд, из его работ. Джон начал разговор с рассказа о своем опыте и в особенности о работе над малоизвестным феноменом, который называется “спинодальный распад” и встречается при затвердевании металлических жидкостей.

Джон упомянул как бы между делом, что слышал о космологе, который использовал эти идеи для разработки новой теории ранней Вселенной. Этим космологом был я. Он поинтересовался, слышал ли я об этом.

– Да, – ответил я, – действительно, есть у меня один знакомый космолог, который использует ваши экспериментальные результаты для разработки своих теорий. Так уж вышло, – добавил я с улыбкой, – что этим человеком случилось быть мне.

Теория спинодального распада Джона Кана действительно стала моим основным источником вдохновения при разработке новой инфляционной теории Вселенной, в которой вводилось понятие “изящного выхода” как способа прекращения первоначального взрывного инфляционного процесса.

– Для меня честь наконец с вами познакомиться, – сказал я ему.

После непродолжительной дискуссии о наших космических связях мы приступили к делу и провели следующие пять часов в оживленном сравнении наших заметок о квазикристаллах. Каждая команда рассказывала свои параллельные истории – экспериментальную и теоретическую, – которые, к общему восторгу, только что пересеклись с поистине судьбоносными последствиями.

Джон рассказал, как его протеже Дэн Шехтман впервые открыл десятилучевую дифракционную картину в сплаве, полученном в 1982 году в Национальном бюро стандартов. Когда Дэн показал ему тот узор, Джон предложил серию тестов, чтобы исключить наиболее вероятное объяснение, состоявшее в том, что сплав был обычным кристаллом с множественным двойникованием.

По словам Джона, он ничего больше не слышал об этом вопросе, пока двумя годами позднее, в 1984 году, Дэн не вернулся в лабораторию с результатами теста на множественное двойникование и описанием модели, которую они с Иланом Блехом предложили для объяснения странного нового сплава. Дэн сказал ему, что редакция Journal of Applied Physics уже отклонила их статью.

Джон был весьма впечатлен новыми данными Дэна, особенно результатами, которые опровергали теорию с множественным двойникованием. Однако модель Шехтмана – Блеха впечатлила его гораздо меньше – он рассматривал ее как несовершенный набросок.

Поэтому вместо того, чтобы биться над теорией, Джон посоветовал Дэну целиком сфокусироваться на публикации экспериментальных результатов. Он предложил подать короткую статью в престижный журнал Physical Review Letters. Дэн последовал его совету и пригласил Джона присоединиться к нему в качестве соавтора и помочь переписать статью. Джон, в свою очередь, связался с французским кристаллографом Дэнисом Гратиасом и попросил его также войти в состав группы и перепроверить весь выполненный анализ. Итоговым результатом стал тот самый препринт, который Дэвид принес мне, поданный на публикацию от имени группы в составе Шехтмана, Блеха, Гратиаса и Кана.

Джон рассказал нам, что уже начал попытки воспроизвести необъяснимые результаты. Его лабораторная группа начала дальнейшие исследования, чтобы укрепить уверенность в выводах относительно необычного сплава и поискать другие материалы, которые могут обладать сходными дифракционными картинами.

Затем настала наша с Довом очередь, и мы во всех подробностях описали, как пришли к своим идеям, перечислили все исследования, которые выполнили за последние три года. И самое главное – мы показали им предсказанную нами дифракционную картину для квазикристалла с симметрией икосаэдра. Все присутствующие сразу отметили, что она хорошо согласуется с экспериментальной дифракционной картиной для алюмомарганцевого сплава, описанного в препринте.

Это была пьянящая, головокружительная и напряженная встреча.

Несколько недель спустя я сделал первый публичный доклад о квазикристаллической теории на площадке, которая имела для меня особое значение. Я выступал на специально организованном семинаре в лаборатории по исследованию строения вещества Пенсильванского университета. Лекционный зал был полон. Для меня это было своего рода возвращение домой, и наши результаты были приняты с большим воодушевлением. Я был безмерно признателен руководителям и сотрудникам лаборатории за то, что они неизменно оказывали нам моральную и финансовую поддержку на протяжении предшествующих трех лет, даже когда научная ценность идеи о квазикристаллах казалась довольно сомнительной.

Своим присутствием мой доклад почтил и Джон Кан, хотя для этого ему пришлось более двух часов ехать из Гейтерсберга в штате Мэриленд. Когда я закончил выступление, он еще раз оказал мне большую честь, поднявшись и публично похвалив нашу теорию. Джон заявил, что, на его взгляд, наша квазикристаллическая модель корректно объясняет новый материал, найденный их командой.

Когда статья была написана, а первый доклад – сделан, у меня наконец появилось время, чтобы поразмышлять о том, чего же мы только что достигли. Научная фантазия, которую я тайно вынашивал еще со школы и довольно безответственно высказал на университетской лекции, воплотилась в научную реальность. И тут меня оглушило, казалось бы, логичное продолжение этой новой реальности: если квазикристаллы – это новая фундаментальная форма вещества, реальное существование которой подтверждено лабораторно, то наверняка они должны существовать и в природе!

Возможно, они прячутся у нас под самым носом, думал я. Надо только понять, где их искать. Кто знает – вдруг квазикристаллы прямо сейчас демонстрируются в музеях, ошибочно обозначенные как кристаллы?

Эта мысль не давала мне покоя. На протяжении следующих нескольких месяцев я целенаправленно инспектировал коллекции минералов в нескольких музеях, включая Институт Франклина в Филадельфии, Американский музей естественной истории в Нью-Йорке и Смитсоновский национальный музей естественной истории в Вашингтоне. Я переходил от одной выставочной витрины к другой в поисках ошибочно идентифицированного квазикристалла. Это была такая нелепая надежда, что я даже не пытался поговорить с кем-нибудь в этих музеях и в итоге ничего не нашел. Возможно, моя догадка о существовании природных квазикристаллов была не таким уж и озарением.

Статья группы Шехтмана с их экспериментальными результатами вышла в Physical Review Letters 12 ноября. Наше теоретическое объяснение их результатов появилось в том же журнале 24 декабря, в предпоследнем выпуске 1984 года.

Идеальное совпадение в идеальное время, радовался я.

Эти две статьи снискали внимание и весьма позитивные отклики от ученых и журналистов по всему миру. Публикации о нашем открытии появлялись как в научных журналах, так и в широкой прессе, включая Physics Today, Nature, New Scientist и New York Times. Статья в New York Times, озаглавленная “Выдвинута теория о веществе нового типа”, описывала, как мы “выдвинули гипотезу о новом квазикристаллическом состоянии вещества, которая, по-видимому, объясняет озадачивающие результаты эксперимента, недавно проведенного в Национальном бюро стандартов”.

С распространением по миру новости о нашем прорыве мы с Довом с удивлением стали узнавать об ученых в других частях света, которые работали над сходными идеями. Некоторые интересовались математикой пенроузовских замощений, другие – квазипериодичностью, третьи даже задумывались о веществах с икосаэдрической симметрией. В доинтернетовское время обмениваться информацией было намного труднее. Так что мы с Довом даже не догадывались об этих статьях, поскольку они не публиковались в широко известных физикам журналах. Но теперь многие из их авторов сами связывались с нами, и мы с жадностью поглощали все, что они писали.

Особенно впечатлила нас работа голландского математика Николаса де Брёйна, который написал в 1981 году серию замечательных статей о хитроумном “мультисеточном” методе генерации двумерных замощений Пенроуза без использования каких-либо обычных правил совмещения или разделения. Мы с Довом для дальнейшего развития наших идей привлекли еще одного талантливого молодого аспиранта из Пенсильванского университета по имени Джошуа Соколар. Втроем мы смогли обобщить мультисеточный метод де Брёйна для порождения квазипериодических узоров с любыми симметриями и любым числом измерений, включая чисто математические конструкты, выходящие за пределы трехмерного пространства.

Наш обобщенный мультисеточный метод самым прямым и явным образом продемонстрировал то, что мы с Довом ранее уже доказали более абстрактным и косвенным математическим способом: квазикристаллические узоры можно построить для бесконечного числа различных симметрий, которые запрещены для кристаллических решеток. Теперь каждый мог легко убедиться, что число возможных форм вещества из строго ограниченного стало бесконечным. Это был серьезный сдвиг парадигмы.

Другой важной идеей, разработанной несколькими независимыми группами теоретиков, был “метод проекций”. Согласно этому подходу, замощение Пенроуза и другие квазипериодические узоры получаются как проекции, или “тени”, периодически упакованных в высоких размерностях “гиперкубов”, то есть аналогов трехмерных кубов в воображаемых геометриях пространств четырех или более измерений. Большинство людей не могут без специальной тренировки визуально представить себе, как работает этот метод, однако математики и физики находят эту концепцию очень полезной для анализа атомной структуры квазикристаллов и для расчета их дифракционных свойств.

Обобщенный мультисеточный и проекционный методы – это мощные математические инструменты для генерации узоров из ромбических плиток в двух измерениях и из ромбоэдров в трех измерениях. Но у них есть серьезное ограничение: они не дают никакой информации о правилах совмещения. Например, узоры с симметрией 11-го (см. рисунок справа вверху) и 17-го порядка (внизу) оба сгенерированы мультисеточным методом.

Эти чудесные замысловатые узоры составлены из простых ромбов: широких, средних и узких. Но у них нет ни насечек, ни замков, которые не давали бы плиткам организоваться в кристаллический узор.

Так что, если бы вам выдали стопку таких плиток и попросили замостить ими пол без использования в качестве руководства полного изображения узора, у вас мог бы получиться обычный регулярный кристаллический узор, поскольку его проще выложить. У вас также мог бы получиться случайный узор. А вот шанс выложить квазикристаллический рисунок был бы очень мал. Для этого вам понадобилось бы руководствоваться правилами совмещения, помогающими заметить допускаемые при сборке ошибки.

Представьте, что каждый тип плиток в узорах выше заменяется группой атомов. Несмотря на то что строго упорядоченный квазикристаллический порядок возможен, интуитивно очевидно, что при затвердевании жидкости атомы с гораздо большей вероятностью будут организовываться в кристаллический или случайный порядок, если только между атомами не будет взаимодействия, которое проявляется подобно правилам совмещения и препятствует такой организации. Таких конфигураций гораздо больше, чем квазикристаллических, и для их образования требуется гораздо менее тонкая координация.

Именно поэтому мы с Довом тратили поначалу столько сил на демонстрацию того, что для наших широких и узких ромбоэдров можно придумать замки, которые действовали бы как правила совмещения, препятствующие образованию как кристаллического, так и случайного порядка и вынуждающие к формированию квазикристаллической структуры.

Но достаточно ли одних правил совмещения, чтобы объяснить, как образуются квазикристаллы? Ответа на этот вопрос у меня не было. Может быть, нужны какие-то еще свойства, чтобы атомы естественным образом организовались в идеальную квазикристаллическую структуру?

Принстон, январь 1985 года

Джош Соколар вызвался поработать со мной над этим сложным вопросом. Он уже проявил свои таланты в нашей предыдущей работе по обобщению мультисеточного подхода на произвольные симметрии, и я был очень рад, что он захотел принять участие в более крупном проекте. Высокий долговязый Джош своим присутствием всегда вызывал ощущение спокойствия и задумчивости, что было довольно неожиданно для такого молодого человека. Я всегда чувствовал, что нахожусь в одном шаге от перевозбуждения и что Джош привносит в наши дискуссии ощущение покоя. Он также обладал исключительной геометрической интуицией, сослужившей нам бесценную службу тогда и вообще на протяжении всего нашего весьма плодотворного и продолжающегося по сей день сотрудничества.

Для поиска новых идей мы с Джошем решили вернуться к пенроузовским замощениям. Мы заметили, что правила совмещения Пенроуза для двумерных узоров включают два других свойства, которыми не обладали широкие и узкие ромбоэдры, изучавшиеся нами с Довом. Первым отсутствующим элементом были линии Амманна – широкие и узкие каналы, которые появлялись, когда ромбы с нанесенными на них полосами складывались в мозаику Пенроуза. Мы с Джошем решили ввести в нашу геометрическую конструкцию трехмерный аналог линий Амманна и назвали его “плоскостями Амманна”. Вторым недостающим элементом были правила дефляции-инфляции – процедуры для разделения двух ромбов в замощении Пенроуза на более мелкие части.

Мы с Джошем предполагали, что альтернативный набор строительных блоков, обладающий всеми тремя свойствами – правилами совмещения (замками), амманновскими плоскостями и правилами дефляции-инфляции, – может раскрыть секрет того, каким образом реальные атомы в жидкости соединяются при образовании квазикристалла. Плоскости Амманна и правила дефляции-инфляции могли служить объяснением того, как атомы, начав с какого-то случайного образования, организуются в четком квазипериодическом порядке, а правила замков, которые разработали мы с Довом, могли помочь в объяснении того, каким образом атомы остаются зафиксированными в этой конфигурации.

Рассуждение состояло в следующем: если строительные блоки можно рассматривать как располагающиеся вдоль плоскостей Амманна, разделенных квазипериодическими интервалами, то можно представить жидкость, переходящую при затвердевании в квазикристалл, начиная с небольшой зародышевой группы атомов, к которой новые атомы будут присоединяться по одному слою за раз. Каждый такой слой соответствовал бы одной амманновской плоскости.

Такой послойный рост был бы аналогичен принципу роста многих периодических кристаллов, поэтому логично было предположить, что нечто подобное происходит и в случае квазикристаллов.

Трехмерные правила дефляции-инфляции наводили на мысль о еще одном механизме роста квазикристаллов. Сначала атомы в жидкости могут образовывать множество мельчайших кластеров, затем эти кластеры могут соединяться в более крупные кластеры, потом из них могут формироваться еще более крупные кластеры, и так далее. Эта иерархическая кластеризация небольших фрагментов, ведущая к образованию более крупных, соответствовала бы тому, как мелкие плитки объединяются в более крупные согласно правилам дефляции-инфляции.

Мы также рассматривали возможность, что некоторые квазикристаллы могут формироваться путем комбинации послойного и иерархического роста.

У широких и узких ромбоэдров, которые мы с Довом делали из картонных разверток, были правила совмещения, но не было ничего подобного плоскостям Амманна или правилам дефляции-инфляции. Перед нами с Джошем стояла задача найти другой набор строительных блоков, обладающий всеми тремя свойствами. Для достижения этой цели в сложном случае трехмерной икосаэдрической симметрии требовались значительные математические усилия, сравнимые с теми, что приложил Пенроуз, создавая свои двумерные схемы. Но при успехе мы показали бы, что рост квазикристаллов в жидкости может быть таким же простым и естественным, как рост обычных кристаллов.

Но действительно ли существуют строительные блоки, обладающие всеми тремя свойствами?

Мы с Джошем задались целью ответить на этот вопрос. Вскоре после выхода первой статьи по квазикристаллам в конце 1984 года мы начали активно работать над новым математическим подходом к генерации квазикристаллов, основываясь на уроках, полученных при изучении мозаик Пенроуза.

В нашем подходе причудливым образом сочетались алгебраические выкладки, требующие лишь карандаша и бумаги, и трехмерные физические геометрические конструкции. Алгебраические уравнения требовалось решать, чтобы предсказывать точные положения амманновских плоскостей в трех измерениях, – этим занимался я. Джош затем смотрел, где эти плоскости пересекаются, и применял наш обобщенный мультисеточный метод, чтобы определять формы строительных блоков и то, как через них проходят амманновские плоскости.

То, что физически мы работали в двух разных местах, дополнительно усложняло наш проект. Джош находился в Пенсильванском университете в Филадельфии, а я все еще был в научном отпуске, на время которого стал приглашенным сотрудником Института перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси. До изобретения “Скайпа” оставалось еще около двадцати лет. Так что общаться мы с Джошем могли только по телефону, что исключало обмен изображениями.

Я звонил Джошу и описывал, что говорят мои алгебраические выкладки относительно расположения амманновских плоскостей. Затем он описывал мне строительные блоки, соответствующие моим вычислениям. Джошу удавалось объединять наши разрозненные идеи и конструировать поистине замечательные физические модели из листов прозрачного цветного пластика, которые и сегодня украшают полку в моем кабинете. Увидев несколько недель спустя эти модели, я был поражен тем, как идеально наши вычисления сошлись друг с другом. Мы подали совместную статью в журнал Physical Review B в сентябре 1985 года. Не оставалось сомнений, что мы решили проблему.

Теперь мы знали, что существуют строительные блоки с икосаэдрической симметрией, обладающие правилами совмещения, амманновскими плоскостями и правилами дефляции-инфляции. У них были все свойства двумерных плиток Пенроуза, но только с более сложной симметрией. Наша работа имела прямое отношение к объяснению реально существующих квазикристаллов с икосаэдрической симметрией.

Мы с Джошем наконец нашли производственную компанию, которая смогла изготовить четыре типа строительных блоков, изобретенных нами для решения проблемы. У этих пластиковых блоков были специально сконструированные соединения, как у кубиков лего, которые вынуждали соблюдать все наши правила совмещения.

Одной из фигур был все тот же широкий ромбоэдр, который использовали мы с Довом. Это белые блоки на иллюстрации справа (см. также иллюстрацию на обложке). Три другие фигуры отличались от всего, что мы с Довом изучали прежде. У них сложные греческие названия, основанные на числе граней, являющихся ромбами одинаковых размеров и формы. На самом деле эти названия не так уж важны, но для тех, кому нравится практиковаться в греческом языке, я приведу их в порядке увеличения размера: ромбододекаэдр (двенадцать ромбических граней), ромбоикосаэдр (двадцать ромбических граней) и ромботриаконтаэдр (тридцать ромбических граней).

Должен признаться, мне очень понравились изготовленные блоки. Они не только иллюстрировали то, как новые строительные блоки соединяются друг с другом, но также демонстрировали большой шаг вперед по сравнению с поделочными экспериментами, которые мы с Довом проводили сначала с пенопластовыми шариками и каркасной проволокой, а потом с картонными развертками и магнитами.

На иллюстрации справа в середине показаны несколько слоев, где видно, как эти четыре типа трехмерных фигур соединяются друг с другом.

Наши математические достижения придали мне гораздо больше уверенности в том, что нам более не встретится теоретических препятствий, мешающих перенести концепцию квазикристаллов из абстрактного мира двумерных мозаик Пенроуза в мир реального трехмерного вещества.

Наша конструкция появилась вовремя, поскольку к весне 1985 года открытие квазикристаллов породило новое поле интенсивных исследований. Сообщения о новых экспериментах, новых потенциально квазикристаллических сплавах и новых теоретических идеях от различных групп по всему миру появлялись практически каждую неделю. Ажиотаж привел к непрерывной череде конференций, семинаров, приглашенных докладов, включая выступление в Калтехе, которое привело к столь ценной для меня встрече с Ричардом Фейнманом.