Читать книгу: «Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера», страница 4

Шрифт:

Если для определенности будем считать, что в верхней строке расположены простые числа a, в крайней левом столбце простые числа b, то чтобы не рассматривать зеркально верхнему треугольнику нижний от главной диагонали треугольник, следует принять условие a≤ b. Тогда в общем виде таблица 5 будет симметрична относительно главной диагонали и все свойства для нижней части таблица 5 будут идентичны свойствам для верхней части.

Таким образом, из вышесказанного обобщения можно записать следующие выражения:

– для всех элементов столбца

a_*_i₊₁=a_*_i+δ_i;

– для всех элементов строки

a_i₊₁_*=a_i_*+δ_i,

где

δ_i=(p_i₊₁ – p_i)/2;

i=1,2,3, …. k – номер столбца или строки в таблице 5;

* – символ, обозначающий индексы по всей строке или столбцу.

И, наконец, исследуя симметричные числа либо на числовой оси (см. рис. 2) либо по таблице 5 можно выделить еще одно их свойство. Это относиться к тем арифметическим прогрессиям, которые они образуют. Выразим это свойство следующим утверждениями.

Утверждение 1. Любое число n натурального ряда больше 1 равно среднему арифметическому симметричных пар этого числа.

Доказательство данного утверждения очевидно и следует из выражения (1.5).

Из данного свойства вытекает и последующее свойство симметричных пар чисел, сформулированного в утверждении 2.

Утверждение 2. Любое число n натурального ряда больше 1 и принадлежащие ему симметричные пары числа являются членами арифметической прогрессии.

Доказательство указанного утверждения также очевидно и вытекает из выражений (1.7), (2.2).

Утверждение 3. Симметричная пара любого числа n больше 1 состоит из симметричных пар либо только четных, либо только нечетных чисел.

Доказательство.

Согласно (1.3) имеем:

a=n – δ

b=n + δ,

где δ=1,2… n.

Отсюда следует, что для любого числа n пара чисел a и b будут иметь одинаковую четность, т.е. одновременно являются либо четными, либо нечетными, так как арифметические операции «+» и «–» являются однотипными.

5. Обобщающие выводы и четыре теоремы

Предыдущие разделы работы подвели к общим выводам представления четных чисел суммой двух других.

Исходя из вышеописанного можно сделать предположение, что любое четное число больше двух представимо одновременно в виде суммы двух чисел в следующих сочетаниях:

1) суммой симметричных пар четных чисел;

2) суммой симметричных пар нечетных чисел;

3) суммой симметричных пар нечетных составных чисел;

3) суммой симметричных пар простых чисел.

Доказательства сделанных утверждений подготовлены в предыдущих разделах, а некоторые фактически уже доказаны.

Однако приведем доказательства по каждому из данных утверждений в виде теорем.

Теорема 2. Любое четное число натурального ряда представимо суммой симметричных пар четных чисел.

Доказательство. Из определения самого натурального числа, леммы 1 и теоремы 1, следует, что любое натуральное число k большее 1 имеет k симметричных пар чисел a_i и b_i, таких, что их среднеарифметическое равно самому числу.

Действительно, если рассмотрим число k, а также его симметричные пары a_i и b_i, то их среднеарифметическое будет

(a_i + b_i)/2 = k. (5.1)

Но согласно (1.3) симметричные пары чисел можно записывать следующими выражениями a_i = k – i, b_i= k + i, то такие пары чисел при i = δ = 1, 2, 3, …… n.

Следовательно, их сумма будет удовлетворять выражению (5.1) и при этом будут симметричными.

Но так n = 2k , то отсюда следует, что любое четное число n представимо k парами симметричных чисел, таких что

a_i + b_i = 2k . (5.2)

Из выражения (5.2) также следует, что, так как в правой части стоит четное число, то сумма в левой части должна быть четной. В силу этого числа a_i и b_i должны быть одновременно либо четными, либо нечетными. Из свойств чисел натурального ряда следует, в силу утверждения 3, что симметричные числа a_i и b_i являются либо только четными, либо только нечетными.

Очевидно, что при k>1, из k симметричных пар, найдется хотя бы одна пара, в которой a_i и b_i являются только четными.

Из этого вытекает, что в множествах A и B да найдется хотя бы одна пара четных чисел, таких, что выполниться равенство (5.2), а это и доказывает теорему.

Теорема 3. Любое четное число натурального ряда больше 1 представимо суммой симметричных пар нечетных чисел.

Доказательство. Запишем четное число в виде n = 2k. Тогда из доказательства предыдущей теоремы 2 вытекает, что любое четное число представимо симметричной парой a_i + b_i = 2k. Очевидно, в силу утверждения 3, при k>1 найдется симметричная пара, в которой a_i и b_i являются только нечетными.

Из этого вытекает, что во множествах A и B да найдется хотя бы одна пара нечетных симметричных чисел, таких, что выполниться равенство (5.2), а это и доказывает теорему

Из свойств ряда натуральных чисел доказательства предыдущей теоремы 2 вытекает, что любое четное число представимо симметричной парой нечетных чисел.

Теорема 4. Любое четное число натурального ряда больше 2 представимо суммой симметричных пар простых чисел.

Доказательство. Рассмотрим множество нечетных чисел nch_A меньших n, и множество нечетных чисел nch_В больших n и меньших 2n, т.е. |nch_A| < n; n <|nch_A| < 2n.

Согласно доказательству в теореме 3 для любого числа n больше 2 найдутся симметричные пары нечетных чисел a и b.

Выше было показано, что эти множества состоят из подмножеств нечетных составных и простых чисел, таких что

nch_A = S_A U P_A, nch_В = S_B U P_B, |S_A| + |P_A| = |S_В| + |P_В|, |P_A| > |P_В|, |S_A| < |S_В|. (5.3)

В предыдущей теореме 3 было доказано, что из двух множеств A и B найдется пара a и b такая, что в этой паре числа будут четные или нечетные.

Рассмотрим далее два множества простых чисел P_A и P_В.

Допустим, что для числа n из всей совокупности симметричных пар (a, b) не нашлось ни одной симметричной пары простых чисел, то есть в паре (a, b) элементы не являются простыми числами. Это значит, что множество P_A и множество P_B не пересекаются по симметричным парам, то есть P_A ∩ P_B ≡ Ø.

Так как, в силу (2.7) и (5.3), |nch_A | = |nch_В|, и nch_A = S_A U P_A, nch_В = S_B U P_B, а во множествах P_A и P_B не нашлось ни одного симметричного числа, то, следовательно, если |P_A| ≠ 0 и |P_B| ≠ 0, то возможно два варианта:

1) Множество S_A должно включать некое подмножество Ś_A, которое должно полностью соответствовать множеству P_B, т.е. S_A = P_В U Ś_A. Аналогично, множество S_B должно включать некое подмножество Ś_В, соответствующее множеству P_A, т.е. S_В = P_A U Ś_В. В этом случае должны выполняться следующие равенства