Читать книгу: «Теорема зонтика, или Искусство правильно смотреть на мир через призму математики», страница 3

Логарифмический мост

Жилой район Мерчистон, что в самом центре Эдинбурга, обычно довольно тих. Его безмолвные улицы, окруженные большими домами и выстроившимися в ряд садами, образуют оазис спокойствия всего в нескольких минутах от центра столицы. Столь резкий переход от жарких берегов Евфрата к шотландской прохладе и невозмутимой атмосфере может вызвать культурный шок.

Меня всегда захлестывают эмоции, когда, оглядываясь в прошлое, я вижу, какую эстафету представляет собой история науки и математики. И каждый народ, независимо от того, что отличает его от других, внес в нее свой вклад. Да, именно здесь продолжится наша история. Здесь наследие месопотамских писцов нашло свое продолжение.

Всего в нескольких кварталах отсюда нас ждет следующая встреча.

Двигаясь на юг, к району Морнингсайд, мы увидим университет Непера, где ежегодно более 25 000 студентов изучают информатику, театральное искусство или криминологию. Здания кампуса выглядят немного уныло: бетонные коробки XX века, единственным украшением которых служат стеклянные фасады в стиле модерн. Тем не менее, если вы осмелитесь войти внутрь, университет откроет вам свое сокровище. Среди стекла и бетона, почти незаметная за новыми постройками, возвышается башня Мерчистон.

Это квадратное здание, чьи камни несут отпечаток своего возраста, с неровными узкими и глубокими окнами. Крышу словно венчает корона, придавая ему гордый и благородный вид древнего сооружения, которое уже тысячи раз могло рухнуть. Когда-то эта башня была частью небольшого замка.

Именно здесь в 1550 году родился Джон Непер из Мерчистона, давший свое имя университету и подаривший математике операцию, которая произвела революцию в науке.

Непер был довольно странным персонажем. Как и многие ученые его времени, он увлекался различными дисциплинами, которые затрагивали как теологию, так и астрономию или математику. Про него часто рассказывают одну историю, и несмотря на то, что в ней нет ничего математического, она многое говорит о его личности.

Его сосед, по фамилии де Рослин, разводил голубей, которые клевали семена на поле ученого. Раздраженный Джон Непер предупредил его, что раз сосед не может держать своих птиц под контролем, то он их просто конфискует. Де Рослин лишь рассмеялся себе под нос, сказав, что с удовольствием посмотрит, как тот будет их ловить.

Однако на следующее утро он был потрясен, увидев, что математик с большим мешком в руке просто складывает туда не сопротивляющихся голубей. Непер накануне раскидал по своей земле семена, пропитанные бренди. К утру голуби были пьяны и неспособны летать, оставалось их только собрать.

Вполне вероятно, что эта история – просто выдумка, тем не менее она учит нас одному: Джон Непер был экспертом в искусстве решать проблемы нетривиальными способами. Иногда достаточно изменить угол зрения, чтобы найти решение. Самые запутанные ситуации могут превратиться в детскую игру, если вы посмотрите на них под правильным углом. Если вы не можете быть быстрее голубя, сделайте так, чтобы голубь стал медленнее вас. Чтобы решить сложную задачку, не всегда нужно быть умнее, сильнее или быстрее. Прежде всего нужно быть изобретательным.

Непер поставил это умение мыслить нестандартно на службу математике, придумав операцию, столь же революционную, сколь и гениальную. Операция, которая облегчала жизнь поколениям ученых вплоть до конца XX века. Операция, способная преобразовать умножение в сложение.

Ему пришла в голову идея разместить параллельно ось умножения и ось сложения. На первой каждое новое значение в два раза больше предыдущего. На второй – больше на единицу.

С помощью этой параллели шотландский математик построил мост между миром сложения и миром умножения. Благодаря этой простой схеме внезапно стало возможным переходить от одного к другому. Так, 8 вверху соответствует 3 внизу. 5 внизу – 32 наверху и так далее. Умножениям наверху соответствуют сложения внизу.

Чтобы полностью понять этот принцип, приведем пример. Представьте, что вы хотите выполнить умножение 8 × 16. Порядок следующий:

1. Переведите эту операцию в мир сложения: 8 × 16 становится 3 + 4;

2. Посчитайте: 3 + 4 = 7;

3. Переведите ваш ответ в мир умножения: 7 становится 128.

Вы получили результат: 8 × 16 = 128. Схематически рассуждения происходят таким образом.

Похоже на колдовство! Такое совпадение кажется слишком простым, чтобы быть правдой, и все же оно работает. Вы можете попробовать посчитать еще, в числах 8 и 16 нет ничего особенного, метод Непера работает для всех умножений.

Но, конечно, этот пример элементарный, потому что числа 8 и 16 простые⁸. Но представьте, что вам нужно умножить гораздо более сложные числа, такие как 2,43 и 78,35. А еще представьте, что у вас на столе лежит справочник по соответствиям сложения/умножения, гораздо более полный, чем две оси, которые мы обозначили выше. В поисках ответа в справочнике вы сначала преобразуете умножение 2,43 × 78,35 в сложение 1,281 + 6,292. Затем за считаные секунды вычислите сумму: 7,573. Затем найдете, чему соответствует этот результат в умножении: 190,4. Вы только что провели свои вычисления менее чем за тридцать секунд. Без справочника вы вряд ли уложились бы в минуту.

Джон Непер более двадцати лет работал над разработкой этой теории и созданием справочника сложения/умножения. Разумеется, без вычислительной машины. Все его расчеты были составлены вручную. Свои результаты он опубликовал в 1614 году в статье под названием Mirifici logarithmorum canonis descriptio («Описание удивительной таблицы логарифмов»). Термином «логарифм»⁹ он и обозначил мост между миром умножения и миром сложения. Точнее говоря, логарифм – это переход от оси умножения к оси сложения: логарифм 8 равен 3, логарифм 16 равен 4 и так далее.

В первой половине своей статьи Непер излагает теорию. В ней он подробно описывает определение логарифмов, а также их математические свойства. Вторая половина состоит исключительно из таблиц чисел, которые занимают почти сто страниц. Это логарифмические таблицы. Справочник, необходимый вам для расчетов. В своей первой версии таблиц Непер перечисляет 5400 чисел. Ищете логарифм? Полистайте справочник, и вы найдете ответ за считаные секунды.

Честно говоря, следует признать, что результаты, приведенные в таблицах Непера, лишь приблизительные, поскольку в справочнике приводятся логарифмы только с точностью до трех или четырех цифр после запятой. Найти результат с меньшей погрешностью по ним затруднительно. Но для большинства астрономических или архитектурных расчетов того времени этой точности вполне хватало.

Можно сделать и другое замечание: чисел бесконечно много. И какими бы внушительными ни были таблицы Непера, они не могут содержать бесконечное количество логарифмов. Нужно ограничиться определенным количеством страниц и где-то остановиться. Таким образом, этим методом охватить все существующие и предполагаемые умножения невозможно.

И вот тут-то инвариант месопотамских писцов, возникший во тьме времен, возвращается на передний план! Для того, чтобы иметь возможность выполнять все умножения, нет необходимости знать логарифмы всех чисел. Достаточно, например, знать все логарифмы чисел от 1 до 1000, а затем выполнить расчет, забыв о нулях и запятых.

Представьте, что вам нужно умножить 1,28 и 2500. Без нулей и запятых эти два числа войдут в интервал, представленный в таблицах. Теперь это 128 и 25. Согласно этим таблицам, результат умножения составит 32 (без нуля и запятых). Теперь вам осталось оценить порядок величины результата, чтобы правильно расставить запятые и нули. 1,28 × 2500 = 3200. Немного практики – и эта техника позволит вам выполнять все умножения за считаные мгновения.

В эпоху компьютеров и электронных калькуляторов влияние логарифмов во времена Непера оценить непросто. Для нас этот мост между сложением и умножением – не более чем занятное свойство чисел. Иной взгляд на вещи, хотя и полезный, даже поучительный, не играет большой роли. Тем не менее за годы, прошедшие после их изобретения, они быстро распространились в научном мире и стали одним из основных инструментов ученых во всех областях. Кроме того, их приняли за пределами научных кругов многие профессии, где также нужно было что-то вычислять, например архитекторы, бухгалтеры или администраторы. До второй половины XX века большинство школьников носили в своей школьной сумке копии логарифмических таблиц.

Вслед за Непером несколько математиков занялись вычислением и публикацией все более точных и полных таблиц. Новые логарифмические таблицы, составленные в конце XIX века Камилем Буваром и Альфредом Ратине, переиздавались более семидесяти раз и менее чем за столетие стали бестселлером в истории математики!

Чтобы понять этот успех, необходимо осознать горы вычислений, с которыми приходилось сталкиваться ученым тех времен. И я не говорю об умных расчетах, о которых нужно много думать и которые требуют некоторой доли исследований. Нет, я говорю об однотипных рутинных расчетах. Бессмысленных вычислениях, в которых сразу понятен способ решения, но которые тем не менее отнимают сумасшедшее количество времени. Все математики знают, как вычислить 2,35847 × 78,3564. В этом нет ничего сложного, но это долго. И если вы занимаетесь астрономией, вам может потребоваться объединить несколько десятков или даже сотен подобных умножений, чтобы достичь желаемого результата.

Сегодня этими вычислениями занимаются компьютеры. Во времена Непера все делалось вручную! Бумагой и пером, иногда при помощи счетов или абака. Только представьте себе, сколько времени тем людям сэкономили логарифмические таблицы. Целый день утомительных вычислений сокращался до двух или трех часов работы! В конце XVIII века Пьер-Симон Лаплас, один из величайших математиков своего времени, утверждал, что математики смогли чуть ли не вдвое продлить жизнь астрономов, избавив тех от ошибок и невыносимого отвращения к долгим вычислениям.

К концу XX века логарифмы утратили свою изначальную полезность. Появились электронные машины, и сейчас уже никто не пользуется таблицами Непера для вычислений. Однако, словно феникс, логарифмы возродились из пепла в других областях. Теперь речь идет не о технике вычислений, а о понимании, о способе мышления. Как мы уже видели, Вселенная, в которой мы живем, в основном организована мультипликативно, и науке все еще часто приходится переводить мультипликативный мир в аддитивный. Всякий раз, когда ей приходится это делать, она возвращается к этому старому логарифмическому мосту, построенному Непером более четырех веков назад и все так же посещаемому.

Зачастую полезно упорядочивать вещи в логарифмических масштабах. Хорошим примером этого является шкала магнитуд Рихтера, которая измеряет интенсивность землетрясений. Увеличение на единицу по этой шкале на самом деле соответствует десятикратному увеличению амплитуды землетрясения. Таким образом, толчки при землетрясении магнитудой 7,0 в десять раз сильнее, чем при землетрясении магнитудой 6,0. Самое сильное зарегистрированное землетрясение произошло 22 мая 1960 года в Вальдивии, Чили. При магнитуде 9,5 толчки были в миллион раз сильнее, чем при магнитуде 3,5, которую люди едва ощущают.

Логарифмическая шкала дает лучшее представление об интервале измеренных толчков. Если бы их перенесли на аддитивную ось, то магнитуды от 1 до 7 находились бы в одной точке и считать их было бы куда более затруднительно.

Из длинного списка физических явлений, измеряемых по логарифмической шкале, можно назвать такие, как интенсивность звуков в децибелах, кислотность растворов pH или даже яркость звезд на небе.

Еще один распространенный случай – это гаммы в музыке. Музыкальная нота характеризуется частотой вибрации воздуха, в котором она распространяется. Таким образом, различные варианты – высо́ты – ноты ля, которые вы можете сыграть на пианино, имеют последовательные частоты 55, 110, 220, 440¹⁰, 880, 1760 и 3520 колебаний в секунду (герц). Так, из двух нот, разделенных одной октавой, у более высокой частота колебаний вдвое выше. Это мультипликативное распределение нот особенно заметно, если взглянуть на лады на грифе гитары. Ширина ладов не одинакова, она растет в мультипликативной последовательности по мере приближения к перу.

Октавный интервал (две ноты, разделенные октавой) на одной струне гитары – это удвоенная дистанция от нижнего порожка гитары: для того, чтобы взять более высокую ноту, надо зажимать струну ближе к нижнему порожку, а для того, чтобы взять ноту октавой ниже, – удвоить это расстояние (и наоборот). Таким образом, на пятой струне нота ля частотой 110 герц находится на расстоянии 64 см от нижнего порожка, а ля частотой 220 герц – на расстоянии 32 см, то есть в два раза ближе. Чтобы сыграть ля частотой 440 герц на этой же струне, нужно зажать ее на расстоянии 16 см, а ля частотой 880 герц – на расстоянии 8 см. Во всякому случае – в теории, поскольку подобные приемы слишком сложны в исполнении, а на практике мы обычно играем две разные ноты на разных струнах.

Вполне вероятно, что сам Джон Непер, несмотря на всю свою изобретательность, не представлял, какую власть имеют его замечательные логарифмы.

Следует добавить, что с появлением логарифмов мы собрали все кусочки пазла для понимания закона Бенфорда. Нам остается только дождаться того гения, который сумеет их верно сложить. И именно в Соединенных Штатах пройдет последний этап нашего расследования.

Почему мир мультипликативен?

Если у вас старый компьютер, которым вы пользовались годами, то, возможно, вы замечали, что не все клавиши на клавиатуре изношены одинаково. E или пробел, как правило, очень быстро стираются, в отличие от $ или ù¹¹, которые по прошествии многих лет выглядят по-прежнему как новенькие.

В этом нет ничего удивительного. Эти клавиши используются чаще всего, а соответствующие им буквы наиболее распространены во французском языке. В среднем тексте буква E составляет 15,87 % всех букв, что примерно в 66 раз больше доли буквы Y, которая составляет всего 0,24 %. На интернет-сайтах по продаже запасных частей можно приобрести клавиши. Неудивительно, что самая продаваемая клавиша – E, за которой следуют А и N.

Такое неравномерное распределение встречается в различных областях. Гитаристы замечают, что их струны изнашиваются по-разному в зависимости от наиболее частых аккордов в их репертуаре. Кнопки верхних этажей в лифте обычно сильнее повреждены, потому что жители первого или второго этажей чаще предпочитают лестницу. В четырехцветных ручках синие и черные чернила заканчиваются куда быстрее, чем красные и зеленые.

Аналогичным образом ученые прошлых веков обнаружили, что первые страницы их логарифмических таблиц изнашиваются значительно быстрее, чем последующие. Другими словами, числа, начинающиеся с 1, 2 или 3, более востребованы, чем числа, начинающиеся с 7, 8 или 9 – вне воли и желания ученых. Как будто сама природа, давшая людям цифры, создала этот дисбаланс.

Это наблюдение могло бы натолкнуть ученых на дельные мысли, но, увы, большинство из них не сочли это явление достойным изучения. Легко упустить очевидное, когда его не ищешь. В течение трех столетий закон Бенфорда был прямо перед глазами у ученых всего мира, но никто его не видел.

Пришлось ждать до конца XIX века, чтобы робкая рука приподняла завесу этой тайны.

В декабре 1881 года американский астроном и математик канадского происхождения Саймон Ньюком опубликовал статью под названием «Заметка о частоте использования различных цифр в натуральных числах» (Note on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers). В этой небольшой статье, опубликованной в американском журнале American Journal of Mathematics, всего две страницы. В ней Ньюком отмечает неравномерный износ страниц своих логарифмических таблиц и из любопытства ставит вопрос о соотношении первых цифр в числах, на который сам же в нескольких строках и отвечает.

К сожалению, его открытие осталось почти незамеченным.

Надо сказать, что математика, стоящая за этим явлением, довольно проста и не представляет интереса для специалистов. Тем не менее важны не расчеты, а то, что они говорят нам о мире. В 1881 году никто, похоже, не понял, что Саймон Ньюком показал один из гигантских закулисных винтиков Вселенной. И пройдет еще более пятидесяти лет, прежде чем Фрэнк Бенфорд оценит масштабы открытия и опубликует подробную статью на двадцать страниц.

Несмотря на несправедливое пренебрежение к статье Ньюкома, она поучительна и заслуживает того, чтобы остановиться на ней на несколько минут. Вывод прост: Ньюком говорит нам, что числа в мире распределяются равномерно, но равномерно с мультипликативной точки зрения!

Таким образом, выбрав какое-нибудь природное явление и собрав данные, мы получим примерно одинаковое количество чисел от 1 до 2, от 2 до 4 и от 4 до 8. Все они охватывают интервал от одного числа к числу в два раза большему. Естественно, числа, начинающиеся с 1 или 2, встречаются чаще, чем начинающиеся с 7, 8 или 9.

Проще говоря, если первые цифры в числах кажутся неравномерно распределенными, то это потому, что мы собираем неправильную информацию: их логарифмы распределены равномерно. Возьмите список цен своего супермаркета, диаметры звезд Солнечной системы или длины рек по всему миру, а затем найдите их логарифмы. Вы получите равное количество чисел, начинающихся с 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9. Логарифмы Непера сумели преобразовать мультипликативное распределение мира, вписав его в наше аддитивное представление чисел.

Саймон Ньюком вычислил теоретическое распределение первых цифр. И, о счастье! Эта теория прекрасно совпала с тем распределением, которое Фрэнк Бенфорд обнаружил пятьдесят лет спустя. Когда теория соответствует результатам конкретных экспериментов, ученые счастливы. Теперь мы можем быть уверены в правильном понимании реальности.

Тем не менее остается один последний вопрос. Хорошо, мир предпочитает умножение, но почему? Почему реальность во всем предпочитает это распределение?

Опять же, ответ кроется не в природе, а скорее в предвзятости людей, которые за ней наблюдают. Поскольку закон Бенфорда универсален, он не зависит от того, как именно мы на него смотрим.

Например, французские географы измеряют протяженность реки в километрах, а английские – в милях. Таким образом, в зависимости от того, по какую сторону Ла-Манша вы находитесь, длина Нила составит либо 6650 км (что начинается с 6), либо 4130 миль (что начинается с 4). И первая цифра длины любой реки мира изменится в зависимости от того, измеряют ли ее на английском или французском языках. Можно было бы предположить, что смена единиц измерения повлияет на общее распределение первых цифр и что английские ученые используют свои логарифмические таблицы не так, как французские. Но это будет неверно.

Километры и мили придуманы человеком, и природе все равно, в какими произвольными единицами ее измеряют. У каждой отдельно взятой реки первые цифры ее длины будут разными, в зависимости от того, во Франции вы или в Англии, но, если составить полный список рек мира, общее распределение первых цифр останется неизменным.

Другими словами, закон Бенфорда должен быть инвариантным. Точно так же, как результат умножения в Месопотамии остается неизменным независимо от отсутствующих запятых и нулей; точно так же, как процент использования буквы Е в достаточно длинном тексте всегда составляет примерно 15 %, распределение первых цифр остается неизменным независимо от того, какую единицу измерения мы избрали и как собрали наши данные.

Если вам придет в голову идея собрать статистику в супермаркетах разных стран мира, вы обнаружите, что закону Бенфорду все равно, в какой валюте представлены цены: в евро, юанях, долларах или динарах – он не изменится.

При изменении единицы измерения, будь то пересчет километров в мили, евро в динары или чего-то еще во что-то еще, умножение остается неизменным. Если река в два раза длиннее другой реки, она всегда будет в два раза длиннее, независимо от единицы измерения. Если сыр в три раза дороже, он всегда будет в три раза дороже, независимо от валюты. Изменение единицы измерения оставляет инвариантным мультипликативное распределение. Таким образом, в любых данных мы найдем столько же чисел от 1 до 2, сколько и от 2 до 4 или от 4 до 8.

Вот почему мир мультипликативен. Вот почему логарифмические шкалы так актуальны. Вот почему наша система счисления постоянно обманывает нашу интуицию. И вот почему закон Бенфорда правдив, прекрасен и универсален.

В последующие годы закон Бенфорда кое-где нашел свое конкретное применение.

Американский экономист Хэл Вэриан в 1972 году предложил использовать его, чтобы отслеживать мошенничества. Принцип прост: когда мошенники манипулируют численными данными в своих интересах, они допускают ошибку. Числа, которые они используют, не соответствуют обычному распределению первых цифр. В частности, выявлено, что сфальсифицированные данные начинаются с 5 или 6 чаще, чем следовало бы. Возможно, потому что мошенники склонны полагать, что средняя цифра кажется менее подозрительной или более нормальной, чем число, начинающееся с 1 или 9. Это приводит к тому, что на первых позициях в числах появляется гораздо больше 5 и 6. Частота такого распределения позволяет оценить количество потенциальных мошенников. Этот метод, например, использовался для отслеживания статистических данных в налоговых декларациях или для выявления манипуляций с подсчетом голосов на выборах.

Но все же будем честны: за исключением нескольких сфер применения, закон Бенфорда не сильно влияет на нашу повседневную жизнь. Знать, что, согласно этому закону, устанавливаются цены в супермаркете, интересно, но не очень полезно. Точно так же, как знать, что люди, реки или звезды на небе ему подчиняются. Хорошо это или плохо, вам решать.

Тем не менее пути, по которым нас ведет наше любопытство, полны сюрпризов. Конечно, иногда очень приятно понять скрытую красоту природы, принять интеллектуальный вызов и ничего не ожидать взамен. Но даже самые бесполезные знания иногда имеют неожиданный потенциал. Давайте не будем недооценивать теоремы.

И, возможно, однажды, когда вы меньше всего этого ожидаете, вы сможете их применить. Они легко упадут вам в руки, как спелые сладкие фрукты.