Читать книгу: «Готовимся к ЕГЭ по математике. Уравнения и неравенства с модулем», страница 2

§1. Решение уравнений с модулем

Рассмотрим, как решаются простые уравнения с модулем.

В качестве примера возьмем следующую уравнение:

(1.1)

Вспомним определение модуля числа. По определению, модуль равен самому числу, если это число не отрицательно, и числу, взятому с обратным знаком, если число отрицательное. В символьном виде это определение можно представить следующим образом:

Поскольку в уравнении (1.1) есть знаменатель, определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение (1) будет иметь смысл, когда знаменатель не обращается в 0, то есть при x ≠ 0 и x ≠ 1.

Из определения модуля следует, что в уравнениях с модулем нужно рассматривать 2 случая: когда выражение под знаком модуля не отрицательно и когда оно отрицательно.

1) Рассмотрим случай, когда x > 1 . Условие x = 1 можно не рассматривать, поскольку в этом случае знаменатель дроби обращается в 0. Снимая знак модуля, получаем уравнение

(1.2)

Перенесем -1 влево с обратным знаком и приведем полученное выражение к общему знаменателю:

,

      (1.3)

Дробь равна 0, когда ее числитель равен 0. Приравнивая 0 числитель, получаем квадратное уравнение

            x² – x + 2 = 0                  (1.4)

Вычисляем дискриминант полученного уравнения:

            D = (-1)² – 412 = 1 – 8 = -7.

Поскольку D < 0, действительных корней уравнение (1.4) не имеет.

2) Рассмотрим случай, когда x < 1 . Тогда получаем уравнение

Проводя вычисления, аналогичные сделанным выше, получаем: