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1.2 Revisión de álgebra

Esta sección constituye un repaso de las funciones que aprendió en un curso de análisis matemático y tienen por objeto prepararlo para tratar con ductilidad las situaciones que se le presentarán en capítulos posteriores. Puede saltar la lectura de este capítulo si considera que no precisa este repaso o, alternativamente, consultarlo cuando necesite refrescar algún conocimiento.

Factor común

Un polinomio que tiene un factor o varios factores comunes en todos sus términos se puede escribir como el producto del o los factores comunes por un paréntesis, dentro del cual figura el polinomio formado por los cocientes entre cada uno de los términos del polinomio original y el factor o los factores comunes detectados. Dada la siguiente expresión: 16a4b² + 8a²b.

Los factores comunes son 2, a y b, entonces:

2ab (8b4 + 4a)

Note que en el paréntesis se escribe el polinomio de manera que multiplicado por el factor común nos vuelve a dar el polinomio original. En matemáticas financieras para una expresión del tipo:

(1 + i) + (1 + i)² + (1 + i)³

Podemos sacar como factor común (1 + i) y quedaría (1 + i) [1 + (1 + i) + (1 + i)²]

Transposición de términos

Si un número está sumando en un miembro, pasa al otro miembro restando y viceversa. Si un número está en un miembro multiplicando pasa al otro miembro dividiendo y viceversa. Podemos demostrar estas relaciones despejando la x de la siguiente expresión:

En matemáticas financieras, despejando términos podemos derivar fórmulas a partir de otras.

Común denominador

En las fracciones en que el denominador es el mismo, podemos expresarlo como común denominador:

De la misma manera, pueden separarse los dos términos del numerador en dos fracciones, respetando el denominador:

En matemáticas financieras, a menudo deberemos sacar el común denominador de expresiones tales como:

También puede ser útil separar los términos del numerador para poder obtener una sola n en la expresión:

Recordad, también, que en matemáticas:

Por ejemplo,

Este tipo de operación es común en los despejes que se realizan en las fórmulas que involucran pagos constantes, como las denominadas rentas o anualidades.

Propiedad distributiva de la multiplicación

El producto de una suma indicada de números enteros por otro número entero es igual a la suma de los productos de cada sumando por dicho número,

a (c + d) = ac + ad

y con respecto a la resta de números enteros,

a (c − d) = ac − ad

Potencias

Cuando (a·a·a·a·a) se abrevia como a⁵, se dice que a es una base y que 5 es un exponente. Las leyes matemáticas de los exponentes son:

a. Suma de exponentes:

La aplicamos cuando tenemos dos factores con la misma base:

b²b³ = b²⁺³ = b⁵

Por ejemplo, será común utilizar expresiones tales como (1+i)² × (1+i)³ = (1+i)⁵

b⁻⁸b⁶ = b⁻⁸⁺⁶ = b⁻²

Los factores con exponentes negativos aparecen cuando queremos expresar un factor de descuento. Por ejemplo, si queremos expresar el valor presente de un euro con una tasa de interés del 10 %:

b. Resta de exponentes:

La aplicamos cuando tenemos dos factores con la misma base, al igual que en la suma de exponentes:

c⁶ : c⁴ = c⁶⁻⁴ = c²;– c⁵ : c⁹ = c⁵⁻⁹ = c⁻⁴

Por ejemplo,

c. Multiplicación de exponentes:

(a⁴) = a^4×3 = a¹²

(a⁻²)⁻⁵ = a^{(−2)x(−5)} = a¹⁰

d. Exponente cero: el resultado es siempre 1 (uno).

a⁰ = 1

e. Exponente negativo: significa invertir la base.

f. Transposición de exponentes al otro miembro:

Cuando los exponentes pasan al otro miembro mantienen el signo, pero se invierten. Por ejemplo, el exponente −2 de la primera expresión pasa al otro miembro como −1/2.

g. Exponente fraccionario: implica escribir la base como una operación de radicación en la cual el índice es el denominador del exponente.

Por ejemplo, un factor con una tasa de interés del tipo (1+i)^1/3 también puede exponerse como .

h. Radicación:

Progresiones aritméticas

Una sucesión numérica forma una progresión aritmética cuando sus términos se van obteniendo al sumarle al anterior un número constante (r) llamado razón de la progresión. Suponga la siguiente sucesión numérica: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26. Es fácil ver que la razón es 3. Los préstamos por sistema de amortización alemán constituyen un ejemplo de progresión aritmética decreciente, ya que los intereses se reducen en una suma fija período a período.

El cálculo de un término cualquiera a_n de la progresión se puede calcular haciendo:

a_n = a₁ + r(n − 1)

Así, el 7.º término será: a₇ = 2 + (3x6) = 2 + 18 = 20

Suma de todos los términos: se obtiene mediante la fórmula:

En el ejemplo dado, será:

Progresiones geométricas

Son aquellas en las cuales cada uno de los términos se obtiene multiplicando al anterior por un número constante q llamado razón. La progresión 3, 6, 12, 24, 48, 96 es geométrica de razón q = 2, pues cada término es igual al anterior multiplicado por 2. Por ejemplo, los intereses que se acumulan en el régimen de interés compuesto, constituyen una progresión geométrica creciente. También el valor presente de las cuotas de un préstamo constituye una progresión geométrica, que en este caso es decreciente.

El cálculo de un término cualquiera a_n se puede obtener directamente haciendo:

a_n = a₁qⁿ⁻¹

En el ejemplo 0, el 5.º término es:

a₅ = 3.2⁴ = 3 × 16 = 48

Suma de todos los términos: en una progresión geométrica finita, la suma de los términos de esta se calcula con las siguientes fórmulas:

para progresiones crecientes.

para progresiones decrecientes.

Si la progresión geométrica tiene infinitos términos, con una razón 0 < q < 1, la última fórmula expresada se transforma del siguiente modo:

Observe que en el 2.º término del resultado, si n→∞ entonces qⁿ→0 por ser 0 < q < 1, con lo cual, se anula todo ese término y queda:

Función exponencial

A la función f(x) = b^x, donde b > 0, b ≠ 1 y el exponente x es cualquier número real, se la denomina función exponencial con base b. En la figura 1.5, se muestran las gráficas de dos funciones exponenciales, donde se puede observar que existen dos formas básicas, dependiendo de si la base b > 1 o bien b < 1. Si b > 1, entonces la gráfica de y = 2^x asciende de izquierda a derecha; es decir, al aumentar x también se incrementa y, mientras que la función y = (1/2) desciende de izquierda a derecha, es decir, que al aumentar x disminuye el valor de y. A la función ascendente, se la puede asimilar al monto a interés compuesto (1+i)ⁿ y a la función descendente se la puede asimilar a la función 1/(1+i)ⁿ.

Figura 1.5 Función exponencial.

La función exponencial natural

Uno de los números más útiles como base para las funciones exponenciales es el número irracional denotado por la letra e en honor al matemático suizo Leonard Euler. Sus primeras cifras son 2,718281. Aunque este número parece raro para ser la base de una función exponencial, es muy utilizado en finanzas y en economía, principalmente para modelizar funciones de crecimiento y disminución de precios cuando se asume que se producen en forma continua.

El número e se obtiene al resolver un binomio del tipo cuando n tiende a infinito, y puede comprobarse que cuando aumenta n, el valor de e se estabiliza en 2,718281:

Figura 1.6 Función exponencial natural.

Para comprender mejor la utilización del número e en finanzas, pensemos en un ejemplo. Si un activo financiero tiene hoy un precio de 100 € y este crece al 5 % anual en forma continua (el 5 % se compone continuamente) dentro de un año su valor será:

100e^0,05 = 105,127

Función logarítmica

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, ya que la función logarítmica invierte la acción de la función y viceversa. Si se calculó el valor de una función exponencial, por ejemplo, un monto a interés compuesto, para un dato de entrada x (tiempo) se obtuvo un resultado y (monto); en cambio, en la función logarítmica, el dato de entrada es el monto y se obtiene el exponente. Entonces, el logaritmo de un número es un exponente. Concretamente, es el de la potencia a la que se debe elevar la base (que cuando es el número e, se denomina logaritmo natural) para obtener el monto. Por ejemplo:

Log_2,7182 8 = 2,079 porque 2,7182^2,079 = 8

Entonces, para calcular el logaritmo de x en base b, se expresa y = Log_bx, y significa que b^y = x. De manera que el resultado y es la potencia a la que se debe elevar la base para obtener como resultado x.

La función logarítmica invierte la función exponencial. En las figuras 1.7 y 1.8, se muestran las gráficas de la función exponencial del monto y = f(x) y su inversa logarítmica. Observe que en la función monto, para un tiempo dado, surge un monto, mientras que en la función logarítmica, para ese monto, hay como resultado el exponente correspondiente.

Figura 1.7 Función exponencial.

Figura 1.8 Función logarítmica.

Logaritmo natural

Dados dos números reales y positivos n y b, se llama logaritmo del número n en base b al número x, siendo x el número al cual hay que elevar b para obtener n:

log_b n = x si y solo si b^x = n

Por ejemplo, log₂ 4 = 2 si y solo si 2² = 4.

Hasta aquí estaríamos hablando de un logaritmo común, pero si consideramos que la base b es igual al número e —que describimos en la Sección 2.4—, entonces estaríamos en presencia de un logaritmo natural, o también denominado neperiano. Por ejemplo:

Ln 10 = 2,302585 y e^2,302585 = 10

La función y = ln(x) se define solo para x > 0 y aparece en la figura 1.9. Para obtenerla, se puede insertar cualquier valor x > 0 y obtener ln(x) usando una calculadora o una hoja de cálculo. Recuerde que no existe el logaritmo de un número negativo, en cambio, el logaritmo de cualquier número menor que 1 (uno) da un número negativo.

Figura 1.9 Función logaritmo natural.

Se puede observar en la figura 1.9 que:

• Ln(x) < 0 para 0 < x < 1.

• Ln(1) = 0 (que corresponde a la intersección con el eje x (1,0). Esto se entiende ya que habría que elevar a 0 (cero) la base para obtener 1 (uno).

• Ln(x) > 0 para x > 1.

Los números negativos y el 0 no tienen logaritmos. El ámbito son todos los números reales. Los números entre 0 y 1 tienen logaritmos negativos, y conforme más cercano está el valor de x a cero, más negativo es su logaritmo. No existe ordenada en el origen.

Propiedades de los logaritmos

1. Logaritmo de un producto: es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

log (a · b · c) = log a + log b + log c

2. Logaritmo de un cociente: es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

log (m : n) = log m − log n

3. Logaritmo de una potencia: es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

log aⁿ = n · log a

4. Logaritmo de una raíz: es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz.

En matemáticas financieras, es común utilizar logaritmos para despejar un exponente como es el tiempo n, por ejemplo, en las fórmulas del interés compuesto. Sea, por ejemplo, la función del monto a interés compuesto Co (1+i)ⁿ = Cn. Si despejamos n queda:

Derivadas

La derivada de una función f se denota por f’ (se lee «f prima») y está definida por .

Esta relación podemos representarla en un gráfico de la función monto a interés compuesto donde f’(x) es el interés de un infinitésimo de tiempo, cuando Dx representa una intervalo de tiempo muy pequeño, que tiende a cero.

Figura 1.10 Función f(x).

Entonces lo que interesa ver es el cambio que se produce en el valor de la función para un pequeñísimo cambio en x. Si se puede evaluar f’(x), se dice que f es diferenciable y a f’(x) se le denomina «derivada de f en x» o la «derivada de f con respecto a x». Tenga presente que dy/dx no se considera como un cociente sino como un diferencial; al proceso de determinar la derivada se le denomina diferenciación. Además de f’(x) otras notaciones para la derivada de y = f(x) en x, son dy/dx (que se lee “de y en de x” y también y’ (se lee “y prima”).

Cálculo de la tasa de interés instantánea

Si ahora realizamos el cociente entre el interés ganado en un infinitésimo de tiempo y el capital invertido, obtenemos la tasa de interés de un infinitésimo de tiempo, que como sabemos recibe el nombre de tasa instantánea:

De manera que la tasa instantánea es igual a la derivada de la función f’(x) dividida por la función f(x), y como la derivada del logaritmo de una función también es igual a la derivada de la función dividida por la función, tendremos:

Por lo tanto, la tasa instantánea representa la derivada del logaritmo natural de la función, y la función del monto compuesto es igual a: f(x) = (1 + i)ⁿ, que es una función del tipo a^x.

Como la derivada de una función a^x = a^x ln a, entonces se demuestra:

A continuación, se resumen las derivadas de las funciones más utilizadas:

Si la función es:	Su derivada es:
1) y = a	1) y’ = 0
2) y = x	2) y’ = 1
3) y = xⁿ	3) y’ = n · x^n-1
4) y = a · xⁿ	4) y’ = a · n · x^n-1
5)	5) y’ = (-n) · x^-n-1
6) y = ln x	6)
7) y = a^x	7) y’ = a^x · log_e a
8) y = e^x	8) y’ = e^x
9) y = u · u	9) y’ = u’ · u + u · u’
10)	10)
11) y = u + v	11) y’ = u’ + v’
12) y = u − v	12) y’ = u’ − v’
13) y = aⁿ	13) y’ = aⁿ · ln a · n’
14) y = e^u	14) y’ = e^u · u’
15) y = log^e u	15)

1.3 Contenido de la página web de apoyo

El material marcado con asterisco (*) solo está disponible para docentes.

Mapa conceptual

Autoevaluación

Presentaciones*

____________

¹ Si el 9,6 % anual compuesto es una buena tasa de rendimiento, todo depende de la inflación que hubo en ese período y de los rendimientos que se alcanzaron con otras inversiones de riesgo similar.

² El interés compuesto también puede exterminar al deudor. Si hubiéramos recibido 1 millón en préstamo, y nunca hubiéramos amortizado capital o pagado intereses, deberíamos 100 millones al cabo de 50 años.

³ Del otro lado, podría decirse que las empresas que aumentaron sus precios estarían en condiciones de pagar tasas más altas.

Interés simple

Contenido

2.1 Introducción

2.2 Monto a interés simple

2.3 Descuento simple

2.4 Equivalencia de capitales en el régimen simple y reemplazo de pagos

2.5 Resumen

2.6 Preguntas

2.7 Problemas

2.8 Respuesta a las preguntas

2.9 Resolución de los problemas

2.10 Contenido de la página web de apoyo

Objetivos

• Calcular el monto de un depósito a plazo fijo y el interés de la operación.

• Calcular el valor presente en una operación de descuento.

• Calcular una tasa proporcional.

• Calcular un capital equivalente dando un vencimiento común a documentos que vencen en diferentes fechas.

2.1 Introducción

En el contexto del cálculo financiero, es posible hablar de dos tipos de régimen: simple y compuesto. Entendemos por régimen simple aquel donde los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial de la operación; por lo tanto, los intereses que produce dicho capital son siempre una suma fija.

El régimen simple existe tanto en sentido positivo del tiempo (capitalización) como en sentido negativo del mismo (descuento). En la capitalización vamos desde el presente hacia el futuro cuando depositamos una suma de dinero que gana interés durante un cierto período de tiempo, y en el descuento recorremos el camino inverso cuando calculamos el valor presente de un capital futuro. También veremos que es posible hablar de una tasa de interés vencida y una tasa de descuento o anticipada.

En la vida real, existen numerosas situaciones donde nos encontraremos con el interés simple. ¿Quién no ha realizado alguna vez un depósito a plazo en una institución bancaria? En este caso, los depósitos ganan un interés que se calcula sobre el capital inicial de la operación, por un período de tiempo determinado que puede ser un mes, dos meses, etc. Puesto que no hay capitalización de intereses en el período por el que se realiza el plazo fijo, estos son calculados de acuerdo a las reglas del interés simple. También los intereses de la caja de ahorros dentro del período de capitalización, los préstamos que calculan intereses directos sobre el capital, algunos ajustes de deudas impositivas y algunos casos de sentencias judiciales son ejemplos donde se aplica el interés simple.

En este capítulo veremos las principales operaciones que se realizan mediante el régimen simple, incluyendo el descuento comercial, una operación muy extendida en la práctica. Estableceremos la equivalencia fundamental entre la tasa de interés vencida y la tasa de descuento, y finalmente realizaremos una introducción a la equivalencia de capitales que se encuentran expresados en diferentes momentos de tiempo.

Después de leer este capítulo, usted debería ser capaz de:

• Calcular el monto de un depósito a plazo fijo y el interés de la operación.

• Calcular el valor presente en una operación de descuento.

• Calcular una tasa proporcional.

• Calcular un capital equivalente dando un vencimiento común a documentos que vencen en diferentes fechas.

2.2 Monto a interés simple

Las características principales del monto a interés simple son las siguientes:

1. Los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial, de forma que los intereses no generan nuevos intereses, el capital inicial permanece constante hasta la fecha en que haya sido convenido su reembolso.¹

2. Se deduce de 1 que los intereses representan una suma fija, no existe, por lo tanto, capitalización de intereses.

3. Los intereses son proporcionales al capital, al tiempo y a la tasa de interés de la operación.

La mejor forma de apreciar las variables que componen una operación de interés simple y su evolución es observar el cuadro que se desarrolla a continuación:

Evolución del interés simple

Supongamos un capital inicial C₀ = 1 € que se coloca a interés simple y veamos cómo se transforma a lo largo de n períodos para obtener la fórmula «genérica» del monto a interés simple:

Tabla 2.1 Evolución del interés simple

Período	Capital inicial	Interés periódico	Monto
1	C₀	I(0,1) = C₀ i	C₁ = C₀+C₀ i = C₀(1+i)
2	C₀(1+i)	I(1,2) = C₀ i	C₂ = C₀(1+i) + C₀ i = C₀(1+2i)
3	C₀(1+2i)	I(2,3) = C₀ i	C₃ = C₀(1+2i) + C₀ i = C₀(1+3i)
n	C₀[1+(n–1)i]	I(n–1,n) = C₀ i	C_n = C₀[1+(n–1)i] + C₀ i = C₀(1+ni)

En general, para un período cualquiera que llamaremos p, el interés periódico será I (p – 1,p) = i, y el capital final:

C_p = C₀(1 + pi)

Que se lee como el capital original multiplicado por 1 + «p veces» la tasa de interés. Por lo tanto, el capital final o monto del último período será C_n = C₀(1 + ni).

Note que para obtener esta expresión solo multiplicamos el capital original de la operación por el factor de capitalización (1 + ni) transformando el capital inicial en un capital equivalente final o monto. Por ejemplo, si contáramos con 100 € que se invierten durante 5 meses a una tasa de interés del 2 % mensual, al final del plazo tendremos:

100 (1 + 0,02 × 5) = 110

En la actividad financiera cotidiana, la tasa de interés se expresa en tanto por ciento. Así, 2 % equivale a 2 / 100 = 0,02. Para los cálculos, siempre expresamos la tasa en tanto por uno.