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Manual de matemáticas financieras
Manual de matemáticas financieras
Guillermo L. Dumrauf
Manual de matemáticas financieras
Guillermo López Dumrauf
Derechos reservados © Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C.V., Argentina
Segunda edición: 2021
ISBN: 978-987-383-277-2
Segunda edición: MARCOMBO, S.L. 2022
© 2022 MARCOMBO, S.L.
«Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra sólo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra».
ISBN: 978-84-267-3437-2
Producción del ePub: booqlab
A mis padres, a mi familia y a mis alumnos.
Mensaje del editor
Los conocimientos son esenciales en el desempeño profesional. Sin ellos es imposible lograr las habilidades para competir laboralmente. La universidad o las instituciones de formación para el trabajo ofrecen la oportunidad de adquirir conocimientos que serán aprovechados más adelante en beneficio propio y de la sociedad. El avance de la ciencia y de la técnica hace necesario actualizar continuamente esos conocimientos. Cuando se toma la decisión de embarcarse en una vida profesional, se adquiere un compromiso de por vida: mantenerse al día en los conocimientos del área u oficio que se ha decidido desempeñar.
Alfaomega y Marcombo tienen por misión ofrecer conocimientos actualizados a estudiantes y profesionales dentro de tendencias pedagógicas que faciliten su utilización y permitan desarrollar las competencias requeridas por una profesión determinada. Alfaomega y Marcombo esperan ser sus compañeros profesionales en este viaje de por vida por el mundo del conocimiento.
Alfaomega y Marcombo hacen uso de los medios impresos tradicionales en combinación con las tecnologías de la información y las comunicaciones (TIC) para facilitar el aprendizaje. Libros como este tienen su complemento en una página web, donde el alumno y su profesor encontrarán materiales adicionales, información actualizada, pruebas (test) de autoevaluación, diapositivas y vínculos con otros sitios web relacionados.
Cada capítulo se desarrolla con argumentos presentados en forma sencilla y estructurada claramente hacia los objetivos y metas propuestos. Asimismo, cada uno de ellos concluye con diversas actividades pedagógicas para asegurar la asimilación del conocimiento y su extensión y actualización futura.
Los libros de Alfaomega y de Marcombo están diseñados para ser utilizados dentro de los procesos de enseñanza-aprendizaje y pueden ser usados como textos guía en diversos cursos o como apoyo para reforzar el desarrollo profesional.
Alfaomega y Marcombo esperan contribuir así a la formación y el desarrollo de profesionales exitosos para beneficio de la sociedad.
Acerca del autor
Guillermo L. Dumrauf es doctor en Ciencias Económicas con una tesis sobre la estructura de capital óptima de la firma y se desempeña como profesor titular de la Maestría en Finanzas de la universidad del Centro de Estudios Macroeconómicos de la Argentina (CEMA). Es autor de doce libros sobre finanzas y matemática aplicada a la economía y las finanzas: Finanzas Corporativas, Renta Fija, Macroeconomía Inversiones Financieras y Fusiones y Adquisiciones. Ha dirigido diez tesis doctorales en las tres disciplinas: economía, finanzas y administración, y ejercido de revisor de papers que han sido publicados en journals indexados.
El Dr. Dumrauf es frecuentemente invitado como conferenciante para disertar en el país y en el exterior. Ha dictado también seminarios y cursos de maestría y doctorado en varias instituciones del país y de Latinoamérica. Es consejero académico de doctorados y maestrías de distintas universidades.
En la práctica profesional, se le reconoce una importante trayectoria como consultor en finanzas corporativas y mercado de capitales. Es asesor de varias compañías, entidades financieras y organismos gubernamentales en Argentina, Brasil, México, Uruguay, Ecuador, Bolivia y Estados Unidos. Su campo de actuación se concentra en la valuación de empresas, oferta pública inicial de acciones, estructuras de financiamiento, evaluación de proyectos, coberturas de riesgo con derivados, opciones reales y análisis de escenarios económicos. Para más acerca del perfil profesional de su consultora, donde también puede encontrarse material académico, su página web es:
Índice
Mensaje del editor
Acerca del autor
Registro en la web de apoyo
Información del contenido de la página web
Prefacio
Destinatarios
Panorámica de la obra
Página web del libro
Reconocimientos
Capítulo 1: Introducción
1.1 ¿Por qué debemos saber matemáticas financieras?
El valor tiempo del dinero: un euro del futuro vale menos que un euro del presente
Diferencia entre el interés y la tasa de interés
Diferencia entre incremento porcentual y veces en que crece un capital
Tasas de interés e inflación
Tasas de interés y riesgo: un euro con riesgo vale menos que un euro sin riesgo
Aplicaciones de las matemáticas financieras en la vida real
1.2 Revisión de álgebra
Factor común
Transposición de términos
Común denominador
Propiedad distributiva de la multiplicación
Potencias
Progresiones aritméticas
Progresiones geométricas
Función exponencial
La función exponencial natural
Función logarítmica
Logaritmo natural
Propiedades de los logaritmos
Derivadas
Cálculo de la tasa de interés instantánea
1.3 Contenido de la página web de apoyo
Capítulo 2: Interés simple
2.1 Introducción
2.2 Monto a interés simple
Evolución del interés simple
Fórmulas derivadas del monto a interés simple
Tasa proporcional en el interés simple
¿Año de 360 días o año de 365 días?
Interés civil y comercial
Ejemplos de aplicación del interés simple en la vida real
Análisis de las funciones monto e interés acumulado
Análisis del rendimiento efectivo
Plazo medio
Tasa media
2.3 Descuento simple
Descuento racional y tasa de interés vencida
El descuento racional
Evolución del descuento racional
Fórmulas derivadas del descuento racional
El descuento comercial y la tasa «anticipada» o «adelantada»
La operación de descuento en la vida real: la tasa de descuento nominal
Descuento comercial y racional: dos medidas diferentes de una misma operación
Cuadro de evolución del descuento comercial
Fórmulas derivadas del descuento comercial
Análisis del descuento comercial
Tiempo que tarda el descuento en anular un capital o documento
Acerca de la controversia entre «descuento» y «actualización»
2.4 Equivalencia de capitales en el régimen simple y reemplazo de pagos
Vencimiento común
Vencimiento medio
Un atajo para calcular el vencimiento medio: la tasa no influye en el descuento comercial
2.5 Resumen
2.6 Preguntas
2.7 Problemas
Ejercicios de descuento simple
2.8 Respuesta a las preguntas
2.9 Resolución de los problemas
2.10 Contenido de la página web de apoyo
Capítulo 3: Interés compuesto
3.1 Introducción
3.2 Monto a interés compuesto
Características principales del interés compuesto
Evolución del interés compuesto
Monto a interés compuesto cuando la tasa de interés varía
Fórmulas derivadas del monto a interés compuesto
Intereses acumulados
Aplicaciones del interés compuesto en la vida real
Rendimientos de las bolsas en Latinoamérica y EE. UU
El interés compuesto y las medias geométricas
Tiempo necesario para que un capital se convierta en múltiplo de sí mismo
Tiempo en que dos capitales, colocados a diferente tasa, alcanzan igual monto
Análisis de las funciones monto e interés acumulado
Comparación entre el monto simple y el monto compuesto
Monto fraccionario
La tasa proporcional y equivalente en los regímenes simple y compuesto
Una clasificación para el régimen compuesto
3.3 Descuento compuesto con tasa de interés vencida
Análisis de la función del valor presente utilizando derivadas
3.4 Descuento compuesto con tasa anticipada
Fórmula del número de períodos
Análisis del descuento compuesto con tasa anticipada
Comparación del interés y el descuento en los regímenes simple y compuesto
Relación entre la tasa de interés y la tasa anticipada en el régimen compuesto
Equivalencia de capitales en el interés compuesto
Vencimiento común y vencimiento medio
Comparación del vencimiento medio en los regímenes simple y compuesto
3.5 Resumen
3.6 Preguntas
3.7 Problemas
3.8 Respuesta a las preguntas
3.9 Resolución de los problemas
3.10 Contenido de la página web de apoyo
Capítulo 4: Tasas de interés
4.1 Introducción
4.2 Tasas de interés vencidas
Tasa nominal y tasa proporcional
Forma de contar los días del año
Tasa efectiva
Tasa equivalente
Observaciones sobre el concepto de la tasa efectiva
Obtención de la TNA a partir de la TEA
Tasa instantánea
Análisis de la función en.δ
Teoría matemática del interés
Intereses obtenidos en un infinitésimo de tiempo
Cálculo de la tasa de interés instantánea
4.3 La inflación y la tasa de interés real
Las unidades de inversión
La ecuación de arbitraje de Fisher
Obtención de la tasa real en el régimen continuo
4.4 Operaciones en moneda extranjera
La variación del tipo de cambio
Teoría de la paridad de las tasas de interés
Teoría de la paridad relativa del poder adquisitivo
El efecto de Fisher Internacional
4.5 Tasas anticipadas
Tasas de descuento nominal, proporcional y el descuento subperiódico
La tasa efectiva de descuento a partir de la tasa nominal de descuento
La tasa equivalente de descuento
Frecuencia de capitalización y las tasas de interés
El valor límite de las tasas nominales de interés y anticipada
4.6 Resumen
4.7 Preguntas
4.8 Problemas
4.9 Respuesta a las preguntas
4.10 Resolución de los problemas
4.11 Contenido de la página web de apoyo
Capítulo 5: Rentas o series uniformes
5.1 Introducción
5.2 Rentas temporales
Notación simbólica por utilizar
Una clasificación operativa para las rentas
Renta temporal inmediata de pagos vencidos (valor presente)
Fórmulas derivadas de la renta temporal inmediata
Valor de la cuota
Número de períodos
Tasa de interés
Renta temporal inmediata de pagos adelantados
Resolución de rentas con Excel
Resolución con calculadora financiera Hewlett-Packard HP 12C
Rentas diferidas
Rentas anticipadas e imposiciones (valor futuro)
Imposición de pagos vencidos
Imposiciones de pagos adelantados
Diferencia entre una renta anticipada y una imposición
5.3 Relación entre las distintas rentas
Renta inmediata e imposición
Cuadro resumen del valor de las rentas temporales
Análisis y gráficos de las funciones de rentas
Un ejemplo del mundo real: estimación de la renta de jubilación
Análisis de sensibilidad del valor de una renta con Excel
5.4 Cálculo de la tasa implícita de una renta con interpolación lineal
El método de la interpolación lineal
5.5 Resumen
5.6 Preguntas
5.7 Problemas
5.8 Respuesta a las preguntas
5.9 Resolución de los problemas
5.10 Contenido de la página web de apoyo
Capítulo 6: Rentas perpetuas y rentas variables
6.1 Introducción
6.2 Rentas perpetuas
Renta inmediata de pagos vencidos
Aplicaciones de la renta perpetua: el modelo de los dividendos y el coste capitalizado
Rentas diferidas
Rentas anticipadas
6.3 Rentas variables temporales en progresión geométrica
Renta inmediata con pagos variables vencidos
Caso especial: qué ocurre cuando g = i
Rentas variables diferidas
Rentas variables anticipadas (imposición)
6.4 Rentas variables perpetuas en progresión geométrica
Renta inmediata, variable, de pagos vencidos
Críticas al modelo de los dividendos con crecimiento
Crecimiento por fases
Renta variable diferida
Renta variable anticipada
6.5 Rentas variables temporales en progresión aritmética
Renta inmediata variable de pagos vencidos
Cálculo de la renta inmediata temporal a través de la diferencia entre dos rentas inmediatas perpetuas
Renta variable diferida
Imposición
6.6 Rentas variables perpetuas en progresión aritmética
Renta variable inmediata de pagos vencidos
Renta variable diferida
Renta variable anticipada
Esquema y fórmulas de rentas perpetuas y variables
6.7 Resumen
6.8 Preguntas
6.9 Problemas
6.10 Respuesta a las preguntas
6.11 Resolución de los problemas
6.12 Contenido de la página web de apoyo
Capítulo 7: Sistemas de amortización de préstamos
7.1 Introducción
7.2 Sistema francés
Cuadro de evolución y fórmulas utilizadas
Cálculo del saldo del préstamo: métodos prospectivo y retrospectivo
Método prospectivo
Imputación de amortizaciones parciales y cálculo del saldo del préstamo
Método retrospectivo
Cálculo del saldo del préstamo en un período irregular
Tiempo medio de reembolso
Fondo amortizante
Intereses periódicos
Intereses abonados entre períodos no consecutivos
Resumen de fórmulas para el sistema francés
Refinanciación del préstamo y cálculo de la nueva cuota
Sensibilidad de la cuota con respecto a la tasa de interés y al plazo
Efecto de pagos extraordinarios en el valor de la cuota: la cuota «balloon»
Efecto de los gastos y los impuestos en el coste efectivo del préstamo
Indexación en el sistema francés
La indexación a partir del ajuste en el capital
La indexación a partir del ajuste en la tasa de interés
7.3 Sistema alemán
Fórmulas más utilizadas
Amortización periódica
Cuadro de evolución
Cálculo del saldo del préstamo: métodos prospectivo y retrospectivo
Método prospectivo
Método retrospectivo
Intereses periódicos
Cuota periódica
Intereses abonados entre períodos no consecutivos
Resumen de fórmulas
Comparación entre el sistema de amortización francés y alemán
7.4 Sistema americano
Sistema americano tradicional
Cuadro de evolución
Sistema americano con constitución de fondo de amortización
Comparación del sistema americano de las dos tasas con el sistema francés
Sistemas francés, alemán y americano: balance
7.5 Resumen
7.6 Preguntas
7.7 Problemas
7.8 Respuesta a las preguntas
7.9 Resolución de los problemas
7.10 Contenido de la página web de apoyo
Capítulo 8: Métodos de evaluación de proyectos de inversión
8.1 Introducción
8.2 El período de recuperación (payback)
Desventajas del payback
¿Se utiliza el período de recuperación?
Período de recuperación descontado (discounted payback)
8.3 El valor presente neto
Regla de decisión del VPN
Análisis de la función del VPN
¿Cuál es la tasa de interés que debe utilizarse para calcular el VPN?
El supuesto de la reinversión de fondos en el VPN
8.4 La tasa interna de retorno (TIR)
Regla de decisión de la TIR
El supuesto de la reinversión de fondos
Cómo calcular la TIR sin ayuda de calculadoras financieras
Diferencias y analogías entre el VPN y la TIR
8.5 La tasa interna de retorno modificada (TIRM)
Consideraciones sobre los supuestos de la TIRM
8.6 El índice de rentabilidad o relación beneficio-coste
Regla de decisión del índice de rentabilidad
8.7 Algunas complicaciones: cuando el VPN y la TIR no coinciden
Racionamiento de capital y proyectos mutuamente excluyentes
1. El efecto del tamaño de la inversión inicial
El cálculo de la TIR incremental o tasa de Fisher
2. Igual inversión original, diferente desarrollo en el flujo de fondos
3. Diferente vida útil
Chequeo de la tasa de Fisher con «Solver»
Presencia de TIR múltiples o TIR indeterminada
¿Cómo calcular la tasa de rentabilidad cuando aparecen TIR múltiples o incalculables?
Proyectos con diferente vida: cuando la regla del VPN puede fallar
El método de la anualidad equivalente
8.8 Resumen
8.9 Preguntas
8.10 Problemas
8.11 Respuesta a las preguntas
8.12 Resolución de los problemas
8.13 Contenido de la página web de apoyo
Capítulo 9: Introducción al análisis de bonos
9.1 Introducción
9.2 Conceptos fundamentales: ¿qué es un bono?
El valor nominal de un bono
El precio de un bono y su flujo de caja
Relación entre el precio y la tasa de interés
Uso de la función «tabla» de Excel para analizar la sensibilidad del precio
Relación entre la tasa del cupón, la TIR y el precio del bono
Valoración y rendimiento de un bono cupón cero
La «TIR anualizada»
9.3 Analizando el rendimiento de la inversión en bonos
La TIR (yield to maturity)
Rendimiento corriente (current yield)
Ganancias de capital (capital gain yield)
Evolución del precio del bono hasta su vencimiento
9.4 Cálculo del rendimiento total esperado (total return)
El rendimiento total monetario en el vencimiento
El rendimiento total en el vencimiento
Análisis del rendimiento total en el vencimiento
El rendimiento total en el vencimiento y el rol de la tasa de reinversión
Análisis de sensibilidad del rendimiento total
Rendimiento total esperado para el horizonte de inversión
9.5 Análisis financiero de un bono real: cálculo del rendimiento de un bono latinoamericano
Diseño del cash flow y cálculo de la «TIR no periódica» con hoja de cálculo
Cálculo y análisis del retorno total en el vencimiento
9.6 Resumen
9.7 Preguntas
9.8 Problemas
9.9 Respuesta a las preguntas
9.10 Resolución de los problemas
9.11 Contenido de la página web de apoyo
Capítulo 10: Métodos de depreciación
10.1 Introducción
Método de la línea recta
Método de la suma de dígitos
Método del porcentaje fijo
Método del fondo de amortización
10.2 Comparación de los métodos de depreciación
10.3 Consideración de la inflación
10.4 Consideraciones económicas de los métodos de depreciación
10.5 Resumen
10.6 Preguntas
10.7 Problemas
Método de la línea recta
Método de la suma de dígitos
Método del porcentaje fijo
Método del fondo de amortización
10.8 Respuesta a las preguntas
10.9 Resolución de los problemas
Método de la línea recta
Método de la suma de dígitos
Método del porcentaje fijo
Método del fondo de amortización
10.10 Contenido de la página web de apoyo
Capítulo 11: Opciones financieras
11.1 Introducción
11.2 Principales tipos de opciones
Activo subyacente
La prima
Opciones de compra
Posición del comprador de un call
Valor del tiempo
El time decay
Posiciones long y short
Posición del vendedor del call
Opciones de venta
Límite mínimo y máximo para las opciones de venta que no distribuye dividendos
Usted no precisa esperar al vencimiento
11.3 Factores que determinan el precio de la opción
El precio de la acción
El precio de ejercicio
La volatilidad
El tiempo de vida de la opción
La tasa de interés libre de riesgo
Los dividendos
11.4 Ejercicio de la opción antes de su vencimiento
Call sobre acciones que no distribuyen dividendos
Put sobre acciones que no distribuyen dividendos
El efecto de los dividendos
11.5 La paridad put-call en las opciones europeas
¿Se puede arbitrar con la paridad put-call?
11.6 Resumen
11.7 Preguntas
11.8 Ejercicios
11.9 Respuestas a las preguntas
11.10 Resolución de los problemas
Capítulo 12: La fórmula de Black-Scholes
12.1 Introducción
12.2 Valoración de opciones con la fórmula de Black-Scholes
¿Qué es la función N(d)?
12.3 Volatilidad implícita
12.4 Resumen
12.5 Preguntas
12.6 Problemas
12.7 Respuestas a las preguntas
12.8 Resolución de los problemas
Referencias bibliográficas
Glosario
