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• remite a un programa que se refiere a la didacticización de la ciencia de la educación; en particular, la didáctica reivindica para ella la cuestión de la formación inicial de los maestros y no la remite a las ciencias de la educación, consideradas demasiado generales.
La investigación en didáctica tiene por lo tanto objetivos requeridos con base en necesidades, con base en exigencias concretas que se pueden expresar por ejemplo a través de las siguientes preguntas: ¿qué se debe hacer y saber para hacer más eficaz la enseñanza? ¿Cómo aprenden los estudiantes? ¿Cuáles son los instrumentos metodológicos para adaptar la enseñanza a las capacidades individuales? ¿Cómo valorar la eficacia de la elección metodológica? ¿Cómo y con cuáles instrumentos evaluar? (Sólo para dar un contraejemplo, el “qué” evaluar, desde mi punto de vista, se refiere a la didáctica disciplinaria; pero el análisis de los instrumentos posibles para la evaluación puede estar a cargo del teórico de la didáctica general) (Fandiño Pinilla, 2002).
Pero todo esto es banal si no se basa en profundas y sólidas bases teóricas. Se deben construir tales bases a partir de investigaciones en las que estudiosos de didáctica general y disciplinaria colaboren, para entender la teoría y las ejemplificaciones, útiles a ambos. Por ejemplo, es obvio y aceptado por todos hoy en día que la epistemología disciplinaria es el fundamento para estudiar los obstáculos al aprendizaje y la naturaleza de los errores, lo que tiene fuertes repercusiones en las valoraciones de la eficacia de la acción didáctica y en las evaluaciones del nivel de aprendizaje alcanzado. Pero la epistemología disciplinaria debe ser estudio y objetivo no sólo de los didactas de la disciplina: el estudioso de didáctica general que ignora las características peculiares fundamentales de las epistemologías disciplinarias corre el riesgo de hablar al vacío de la misma didáctica general. Obviamente eso no significa que el estudioso de la didáctica general deba saberlo todo: estoy sólo diciendo que ¡necesita informaciones peculiares de las cuales poder extraer ejemplos significativos en el caso de necesidad!
Esto ha llevado a desarrollar una larga serie de paradigmas metodológicos en el mundo de la didáctica de la matemática, y dado que de esto hablaré largamente después, aquí evito toda cita; pero ha llevado también a evidenciar estudios y papeles de la investigación en didáctica general.
• Según Vergnaud (Vergnaud, Holbwachs, Rouchier, 1977): “Se necesita descartar todo esquema reduccionista: la didáctica no es reducible ni al conocimiento de una disciplina ni a la psicología, ni a la pedagogía, ni a la historia, ni a la epistemología. Supone todo eso, pero no se le puede reducir; tiene su identidad, sus problemas, sus métodos. Este es ahora un punto aceptado por los investigadores que se hallan empeñados en este camino”;
• según Brun (1981): “La renovación del término “didáctica” en ciencias de la educación contiene la voluntad de volver a dar importancia al análisis de los contenidos de enseñanza”;
• según Lacombe (1985): “La didáctica se refiere esencialmente a la transmisión de los conocimientos y de las capacidades; esta constituye, como consecuencia, el núcleo cognitivo de las investigaciones sobre la enseñanza”;
• según Audigier (1990): “La didáctica se diferencia de la pedagogía por su tomar en cuenta de manera sistemática los contenidos disciplinarios”.
Esto en lo que respecta a la didáctica general y su interés por las disciplinas. Si en cambio se quiere intentar definir, al menos para iniciar, qué es una didáctica disciplinaria, veamos qué afirman otros autores:
• Douady (1984): la Didáctica de la matemática es “el estudio de los procesos de transmisión y de adquisición de los diferentes contenidos de esta ciencia (la matemática) [y] se propone describir y explicar los fenómenos relativos a las relaciones entre su enseñanza y su aprendizaje. No se reduce a buscar una buena forma de enseñar una determinada noción”;
• Vergnaud (1985a): “La didáctica de una disciplina estudia los procesos de transmisión y de adquisición relativos al dominio específico de esta disciplina, o de las ciencias cercanas con las cuales esa interactúa”.
Pero creo que la mejor forma para evidenciar el contenido, los objetivos y las metodologías de la didáctica de la matemática y, al menos en parte, de la actual investigación en didáctica de la matemática, es el de profundizar, paso a paso, algunos de sus contenidos sobresalientes. Incluso porque acerca de la especificidad de la investigación en didáctica de la matemática el debate fue en el pasado reciente tan fuerte que se han producidos estudios interesantes. En vía preliminar, podrían leerse Brun y Conne (1990) y Boero (1992a).
Para una historia de la idea de didáctica, tal como se le entiende hoy, remito a Artigue y Douady (1986) que, aunque con algunas diferencias, remontan su nacimiento en Francia en 1974.
Todo lo expuesto antes ha abierto varias veces la cuestión de que no es para nada trivial la preparación de los maestros de matemática. Las diferentes naciones del mundo han decidido recorrer caminos diferentes, muchas veces incluso muy diferentes entre ellas, aunque no es aquí el caso de entrar en particulares (Fandiño Pinilla, 2003). Este libro quisiera contribuir a desmontar la idea, aún viva, que para enseñar matemática basta saber matemática. No puede ser así, nunca ha sido así: ya en el siglo XVIII se había entendido que no es así.
Mientras que remito a Godino (1996) y a D’Amore y Martini (1999) para una profundización, aquí me limito a observar que el gran matemático Felix Klein [1849-1925] se lamentaba ya a finales del siglo XIX de la falta de una preparación a la profesión de maestro de matemáticas en las universidades (Loria, 1933).
Según Klein el período de los estudios universitarios constituye simplemente un paréntesis, al que él llamó el paréntesis universitario. Antes, el futuro maestro es un estudiante de escuela secundaria superior, después vive este paréntesis, y finalmente regresa, como maestro, a la escuela secundaria; no habiendo tenido ninguna preparación para esta profesión, no puede más que adecuarse al modelo preuniversitario que había ya vivido (Bernardi, 1995a).
1.3. La didáctica de la matemática como arte
De lo que sabemos a partir de los documentos disponibles, podemos decir que Wittgenstein se dedicó a la enseñanza con una intensidad desconocida y con el sentido de un deber absoluto. No perdonó ni siquiera a sí mismo; y fue severo con sus estudiantes. (…) Vivió pobre con los pobres; los respetó; hizo de tal manera que sus muchachos llegasen a pensar por sí mismos; les dio lo que tenía: su saber, su abnegación, y su canasta de naranjas.
Dario Antiseri,
Introducción a la Edición italiana de: Ludwig Wittgenstein, Dizionario per le scuole elementari.
La didáctica de la matemática como arte produjo, como veremos, resultados interesantes. El objeto del trabajo de quien eligió esta forma de didáctica es esencialmente el siguiente: la enseñanza de la matemática; y el objetivo: crear situaciones (bajo forma de clases, actividades, objetos, ambientes, juegos...) para una mejor enseñanza de la matemática. La suposición más o menos explícita parecía ser la siguiente: si mejora la enseñanza, mejorará también el aprendizaje, y la validez de dicha suposición se daba por descontada. El peso “artístico” de la actividad de enseñanza, por lo tanto, pesa completamente en los hombros del maestro. Pero en el fondo de esta elección se halla la convicción que la atracción ejercida sobre la atención y sobre la motivación del estudiante son las características esenciales para que éste último aprenda. Eso ¿corresponde a la verdad o se trata de una ilusión, un poco ingenua? A este propósito escribe Moreno Armella (1999): “La enseñanza, como simple proceso de instrucción, agravada por hipótesis sobre la capacidad del estudiante de absorber lo que se dice “bien”, no es una concepción: es una ilusión”.
Nótese la acentuación del “bien”: dirigir todo hacia la enseñanza, independientemente de que se le conciba como resultado de una reflexión artística, no ofrece garantías en el plano de los aprendizajes. Esta es la opinión compartida hoy en día, por parte de los estudiosos de didáctica. Sin embargo, en el pasado, más de un autor ha sostenido que enseñar es un arte, fruto de dotes personales que no se pueden ni aprender ni transmitir, con la conclusión que la investigación didáctica no sirve. Se trata de una concepción perniciosa que ciertamente no abre el camino a reflexiones interesantes y que por el contrario cancela toda esperanza de mejorar los aprendizajes por medio de estudios específicos, constituyendo una involución que no se puede evitar. Afortunadamente los indudables éxitos obtenidos por la investigación contemporánea han mostrado que se trata de una posición ampliamente superada sobre la cual no vale la pena perder más tiempo.
Como es normal, es necesario hacer algunas distinciones para no caer en equivocaciones: lo afirmado líneas arriba no significa que no existan docentes que muestran indudables dotes naturales en la comunicación y en el atraer la atención de los estudiantes (¡cada uno de nosotros tiene, afortunadamente, memoria de su vida escolar!). Lo que se quiere decir es que
• la eficacia de los aprendizajes no es exclusiva sólo de estos “artistas de la didáctica” aunque si, obviamente, partiendo de una base de atención e interés, es fácil que crezca la motivación y por lo tanto la volición;
• no se da por descontado que un maestro perfecto obtenga, sólo por este motivo, el resultado deseado en el plano de la calidad del aprendizaje por parte de sus propios estudiantes.
Regresemos a los resultados de la didáctica dirigida exclusivamente a la enseñanza; dije líneas arriba que ella obtuvo, en las últimas décadas, resultados interesantes.
¿Cómo no reconocer, por ejemplo, los obtenidos con la matemática viviente de Zoltan P. Dienes (1972) que tanto éxito tuvo en las décadas pasadas, en todo el mundo? El estudiante vive la matemática, no se limita a aprenderla: el maestro crea para él un ambiente favorable, adecuado, perfectamente estructurado; y actividades, por ejemplo juegos lógicos, juegos de movimiento, incluso bailes, cuya estructura es matemática. Los famosos “bloques lógicos” dieron la vuelta al mundo y muchos maestros los consideraron incluso como prototipo y sinónimo de lógica; se trata de objetos predispuestos, confeccionados previamente para efectuar activamente ejercicios de lógica, de diferentes tipos; por ejemplo juegos en los cuales se evidenciaba una parte proposicional y una parte predicativa, operaciones sobre conectivos y sobre cuantificadores, operaciones en una versión ingenua de la teoría de conjuntos elemental, etcétera. El maestro preordenaba la actividad, el estudiante encontraba placer en hacerla porque podía manipular objetos, dialogar en modo activo con el maestro y con sus compañeros, sentirse en el centro de la atención, un protagonista.
En esta misma categoría pondría el muy famoso trabajo de Emma Castelnuovo, a quien dediqué los trabajos de un Congreso nacional en noviembre de 1990 sobre la didáctica de la matemática (D’Amore, 1990). En aquella ocasión, llamándola por primera al palco de los oradores, declaré que Emma había sido ciertamente para todos los investigadores italianos en didáctica de la matemática una fuente de inspiración. Y pienso en verdad que es así. Entre las tantas maravillas que Emma ha regalado a la escuela y a la didáctica, recuerdo aquí sólo una de las más famosas, extraordinariamente precisa en su simplicidad y genialidad: el paralelogramo articulado con el cual se estudian muchas propiedades, entre otras algunas que ligan isoperimetría y equiextensión, o ciertas transformaciones geométricas, o rectángulos y paralelogramos. Emma, desde hace décadas activa, tiene miles de seguidores, grupos que llevan su nombre casi en todo el mundo, escuelas intituladas a ella. Algunas de sus intuiciones son verdaderamente geniales y son por tanto matemáticas como artísticas.
A propósito de ambientes artificiales creados a medida para ciertos aprendizajes específicos, ¿cómo no recordar los que se inspiran en Maria Montessori [1870-1952]? He tenido forma de dialogar con maestros que se inspiran en las ideas de este grande personaje y de admirar su trabajo; aseguran que los niños se hallan contentos con estas experiencias tan concretas, tan fascinantes, de exploración; y que los aprendizajes que poco a poco se realizan son estables y profundos, para nada epidérmicos.15
1.4. Dos modos diferentes de entender la didáctica de la matemática: didáctica A y didáctica B
Alguna vez de niños atravesábamos el bosque hasta su viñedo: fingíamos robar uvas e higos, él fingía enojarse y nos amenazaba, imagínense, con el libro que estaba leyendo a la sombra del higo. Terminada la broma, nos sentábamos en la tierra alrededor de su sillón de bejuco; y su esposa, ánima dulce también ella, nos llevaba el pan para comer con higos. Él creía de divertirnos, en realidad era él quien se divertía con juegos matemáticos; nosotros fingíamos de interesarnos para darle gusto.
Giulio Carlo Argan, Presentación a: Giuseppe Peano, Giochi di aritmetica e problemi interessanti.
Antes de proseguir con otros ejemplos significativos, quisiera intentar una descripción general en primera aproximación, por ahora más bien banal, de lo que se entiende hoy acerca de la investigación en didáctica de la matemática16.
Se podría hipotizar un doble modo de ver a la didáctica de la matemática:
A: como divulgación de las ideas, fijando por lo tanto la atención en la fase de la enseñanza (A aquí esta por Arte);
B: como investigación empírica, fijando la atención en la fase del aprendizaje (algo que más adelante definiré mejor y que podríamos llamar: epistemología del aprendizaje de la matemática).
Ahora, todas las experiencias vistas hasta este punto y brevemente consideradas en el párrafo precedente, son pertinentes a la tipología A, en cuanto que el esfuerzo del estudioso e investigador está totalmente dirigido a transformar un discurso especializado (y por lo tanto complejo dado que hace uso de un lenguaje técnico no natural) en uno comprensible y más adecuado a la naturaleza del estudiante. Quien se ubica en la tipología A es sensible al estudiante, lo pone al centro de su atención, pero su acción didáctica no está en el estudiante sino en el argumento en juego.
La didáctica A puede servir a plantear y a veces a resolver problemas de grande importancia como: mejorar la imagen de la matemática, mejorar la imagen de sí mismo al hacer matemática, mejorar la atención, activar interés y motivación.
A este propósito, creo poder afirmar que todo esto, visto y considerado siempre como algo relativo a los estudiantes, pueda, en cambio, transferirse también a los maestros. En otras palabras: me parece que también hay maestros de matemática, en todos los niveles escolares, que tienen problemas de imagen de la matemática por cuanto concierne a sí mismo, a los estudiantes, y frente a los colegas, a las familias, a la sociedad.
Una imagen negativa de la matemática es nociva para el mismo maestro. Clases inútiles, repetitivas, aburridas, tienen consecuencias negativas en los estudiantes y en los otros componentes del mundo de la escuela, y terminan por dar al mismo maestro de matemáticas una mala imagen de la matemática, de sí mismo como maestro, lo que vuelve negativo el trabajo didáctico.
Pues bien: personalmente he visto varias veces como el entusiasmo por las propuestas didácticas de Dienes, Castelnuovo, Montessori es real y contagioso. Los maestros que aplican, convencidos, un método de divulgación que captura la atención y vuelve agradable el hacer matemáticas, resultan más activos, más positivos, más convencidos. Todo el mundo de la escuela se beneficia de las ventajas descritas.
1.5. Didáctica A, como divulgación de las ideas
¿Cómo se comporta un gato asustado?
Puede huir a la derecha o a la izquierda, puede subirse a un árbol, puede meterse en un agujero, también puede decidir de mantener su posición erizando el pelo y soplando. Para nosotros el gato parece indudablemente dotado de una facultad de elección que nos impide
hacer cualquier previsión precisa.
En cambio, ¿cómo cae una piedra dejada caer
desde una cierta altura?
Siempre de la misma manera;
da la impresión de no tener elección.
Pues bien, la actitud científica no consiste en el atormentarse alrededor de la pregunta –absolutamente irrelevante desde este punto de vista- si la piedra cae por voluntad de un algún espíritu congénito en la naturaleza
(o de un dios); consiste en cambio antes que nada en el observar y describir exactamente cómo se da el fenómeno y en segundo lugar en el preguntarse si no es consecuencia de un comportamiento más general de la naturaleza o, como se dice, de una ley a la cual este fenómeno obedece.
Maria Luisa Dalla Chiara y Giuliano
Toraldo di Francia, La scimmia allo specchio.
La didáctica A me parece ser de fundamental importancia. Es en esta tipología que pondría también algunas de las actividades que caen bajo el nombre de “uso de la historia de la matemática como instrumento didáctico”17. Tanto la Historia (como análisis crítico de la evolución de las ideas), la historia (como desarrollo de los hechos), como la historia anecdótica, tienen papeles interesantes en este sector A. Una primera distinción entre estos papeles diferentes y una concreta valorización de cada uno de ellos, se halla en D’Amore y Speranza (1989, 1992, 1995) y en Furinghetti (1993).
El primero (análisis crítico de la evolución de las ideas) constituye ciertamente un sector de interés por privilegiar si no precisamente para el estudiante (que, a veces, podría revelarse inmaduro y por lo tanto no preparado para afrontar situaciones mucho más grandes que él), al menos para el maestro. Parece oportuno admitir que el maestro, gracias al análisis crítico de la evolución de las ideas matemáticas, madure convicciones y reflexiones científicas, epistemológicas (en el sentido de: filosofía de la ciencia) y por lo tanto didácticas. Este por lo tanto, enfatizado por mi cursivo, no es inmediato, ni por todos compartido. En el debate internacional acerca de la preparación inicial de los futuros maestros de matemáticas, hay quien ve oportuno insertar cuestiones de carácter histórico y epistemológico, precisamente con la certeza de la validez de esa consecuencia.
La segunda (historia como desarrollo de los hechos) explica los orígenes de las ideas, de los problemas, de las teorías que han hecho de la matemática lo que es hoy y por lo tanto infunde la certidumbre que esta disciplina no es una colección anacrónica de cosas ya hechas y sistematizadas desde siempre y para siempre, sino algo en perpetua evolución, hecha por el hombre para el hombre, rica por lo tanto de referencias a la historia cultural y social entendida en el sentido más amplio.
Finalmente la tercera (que podría llamar con la sola palabra: anecdótica) fascina a los jóvenes (y no sólo a ellos...); desde mi punto de vista, tiene una función no banal: los matemáticos, personajes que dedican su vida a algo que para la mayoría es misterioso, son seres humanos que tienen una historia personal (que, muchas veces, se confunde con la científica); eso los vuelve menos ajenos a los estudiantes, creando una especie de fascinación ya no misteriosa, sino curiosa, alrededor de ellos y de su producto cultural. La matemática se desmitifica, precisamente gracias al hecho que quienes la crean no se hayan fuera del mundo, y se acercan al mundo de los estudiantes.
Un ejemplo: una vez en un grupo de cuarto de primaria (edad de los estudiantes: 9-10 años) conté (con bastantes particulares narrativos absolutamente inventados pero plausibles) la famosa historia (verdadera) con base en la cual, en una escuela primaria alemana, un niño de 8 años, que después se convirtió en un personaje tan famoso e importante digno de merecer el título de “príncipe de los matemáticos”, Carl Friedrich Gauss [1777-1855], resolvió de manera brillante e inesperada el problema aritmético de calcular la suma siguiente, formada por cien sumandos: 1+2+3+...+98+99+100. Al reto lanzado al grupo de hallar una forma rápida de realizar la operación, tuve muchas respuestas (entre las cuales la ingeniosa pero para nada rápida: ¡“Usamos la calculadora”!). Cuando revelé el método de Gauss niño (es decir: reconocer que para calcular la suma antes dicha se puede multiplicar 101 por 50, dado que 1+100 da 101, como 2+99, como 3+98, etcétera), todos los estudiantes se pusieron a inventar soluciones personales (algunas de las cuales más bien fantásticas e inútiles, otras ingeniosas), para emular a su famoso coetáneo de hace dos siglos. La anécdota indujo interés por el argumento y por lo tanto una motivación a la tarea que se trasformó inmediatamente en volición. Y ha desmontado la idea según la cual sólo adultos ingeniosos y muy inteligentes pueden trabajar con las ideas matemáticas. El mundo de la matemática, lejano y mítico, se acercó de repente a las experiencias vivas y reales de los niños.
Ahora, es indudable que la anecdótica no se puede interpretar como investigación histórica académicamente seria, pero es también verdad que, desde mi punto de vista, en una visión didáctica A es deseable poner en movimiento todos los mecanismos de... seducción posibles, con tal de obtener el objetivo (Furinghetti, 1993).
1.6. Otros ejemplos de didáctica A
Que el joven no tenga una fe ciega: que nada esté bien para él excepto aquello que siente que está bien. Incitándolo siempre hacia cosas que sobrepasan su comprensión se ilusionan de ser precavidos pero no lo son. Con tal de proporcionarle algún instrumento superfluo, que quizás no usará jamás, le quitan lo que es más universal para el hombre: el buen sentido;
lo acostumbran a dejarse guiar siempre,
a ser un autómata en las manos de otros.
Jean-Jacques Rousseau,
Emilio o de la educación.
Por lo tanto, forman parte de la didáctica de tipo A todos los estudios y las ideaciones de instrumentos (concretos o no) que pueden mejorar la enseñanza de la matemática, en el sentido que precisé líneas arriba.
Hemos visto el trabajo de Dienes, de Castelnuovo y los ambientes inspirados en las ideas de Montessori. Veamos otros ejemplos.
En la escuela primaria, recuerdo los así llamados “números en color”, pensados por Galeb Gattegno [1911-1988]. A los niños se les proporcionan unas reglas de madera coloreadas que sirven para hacer representaciones concretas de los valores numéricos; se ejercitan así dos estímulos visuales en la aproximación al número natural: altura, en cuanto que las reglas tienen base cuadrada constante pero altura diferente proporcional al número que representan; y color, en cuanto que cada regla se pinta en modo diferente dependiendo del número que representa. Existe también un intercambio entre número en sentido cardinal y número como expresión de una medida. En efecto, la regla más pequeña, la unitaria (se trata de un cubito), se considera como la unidad de medida es decir se asimila al número 1. Por lo que la regla-tres, por ejemplo, es alta tres veces la unidad de medida: para rehacer la regla-tres, a partir del color, se necesita sobreponer tres cubos-unidad (se pierde algo en la aproximación ordinal, pero quizás se le recupera con oportunas actividades de conteo). Este material, que tuvo una notable fortuna mundial en los años 70, se halla aún presente en las escuelas primarias, aunque ahora su papel didáctico me parece cada vez menos enfatizado.
Bastante difundidas, especialmente en los años 70 y 80, fueron salones equipados de manera particular llamados “laboratorios de matemática”. Se trata de verdaderos laboratorios didácticos en los que los estudiantes construyen (en el verdadero sentido concreto de la palabra) objetos relacionados con la matemática: máquinas eléctricas para hacer cálculos, instrumentos para estudiar las transformaciones geométricas, máquinas lógicas para estudiar los conectivos... (Caldelli, D’Amore, 1986). Hubo años muy intensos de trabajo alrededor de esta idea que tiene indudables frutos muy positivos en el plano didáctico – cognitivo, dado que se instauran mecanismos relacionales (maestro - estudiante) muy particulares y relaciones cognitivas (estudiante - matemática) de extremo interés teórico (D’Amore, 1988, 1990-91).
Es obvio que esta actividad en laboratorio se configura al interior de la así llamada’“pedagogía activa”: el muchacho construye, y en nuestro caso no sólo metafóricamente, sino concretamente, con las propias manos, objetos que demandan conocimiento. Los conceptos son el resultado de la elaboración de proyectos que deben ser examinados meticulosamente por la experiencia. El producto debe pensarse a priori porque tiene un objetivo declarado y esperado, pero después debe verificarse su eficacia.
Hubo años de gran interés social por estas iniciativas, entre finales de los años 70 y mitad de los años 80. Yo mismo coordiné el nacimiento de algunas decenas de laboratorios en Bolonia (escuelas primarias comunales, en ese entonces existentes), Osteria Grande18(escuela estatal, con descarga oficial de un maestro, precisamente con el objetivo de seguir las actividades de laboratorio), Imola (lo mismo), Lugo de Romagna y localidades limítrofes (donde realizamos varios centros), y así sucesivamente19. Dado que el instrumento matemático no era, como habitualmente, del todo realizado por un adulto y llevado a la clase ya confeccionado y listo para el uso, sino sólo propuesto por el maestro por medio de la necesidad de volver concreta una idea, pero después proyectado, realizado y verificado por el estudiante, se podría incluso pensar que esta actividad constituye un “puente” entre la tipología A y la B de la didáctica (que conoceremos en detalle dentro de poco).
Otro instrumento que tuvo resonancia mundial fue la así llamada “minicomputadora” ideada por Georges Papy. En realidad, más allá del nombre, el instrumento nada tiene que ver con la (de ese entonces) nueva emergente realidad tecnológica, dado que consiste simplemente en un cuadrado de papel subdividido en otros 4 cuadrados (mediante las dos medianas). La minicomputadora de Papy se presta a juegos de transformación de la base numérica dos a la de base diez (y viceversa), utiliza exponentes de base dos y permite cálculos de un cierto interés, motivando, mediante una idea lúdica simple y genial, al estudiante a la tarea. Es más, el estudiante tiene siempre la impresión de crear por sí mismo algo nuevo, dado que descubre continuamente curiosos y fascinantes vínculos entre números escritos en las dos diferentes bases. Siempre a Papy y a sus seguidores se les atribuye un uso masivo del “lenguaje de las flechas”, una especie de ambiente lingüístico pre-formal, considerado por quien lo usa “neutro” y “espontáneo”, incluso pre-cognitivo porque su uso no requeriría de capacidades específicas.
¿Cómo no recordar el célebre geoplano, un cuadrado de madera idealmente cuadriculado, con clavos en los vértices de tal cuadrícula? También este simple y genial instrumento dio la vuelta al mundo y se difundió rápidamente, y se halla presente aún hoy en muchas realidades escolares, especialmente en la escuela obligatoria. Se presta a actividades bastante elementales, por ejemplo como base de figuras geométricas vueltas visibles con ligas de colores estiradas alrededor de los clavos-vértices. Pero también para ilustrar en modo muy sencillo resultados matemáticos más avanzados, como el teorema de Pick20, adecuado para realizar investigaciones incluso bastante serias de carácter inductivo y deductivo. Más en general, el plano cuadriculado se presta a varias actividades matemáticas: el estudio de la así llamada geometría del taxi, de la probabilidad, del triángulo de Tartaglia-Pascal etc. (Caldelli, D’Amore, 1986).
La lista podría continuar, dado que en tantos años de experiencias en la tipología A, la didáctica de la matemática ha parido muchas ideas concretas, algunas de las cuales son en verdad geniales.
Para concluir, quiero sólo recordar el ábaco multibase, un instrumento bastante difundido en la escuela primaria y secundaria en los años 70, pero ahora desaparecido, adecuado para hacer cálculos pasando de una base numérica a otra. La idea inspiradora era la siguiente: dado que usamos siempre la base diez, el estudiante podría ser inducido implícitamente a pensar que exista sólo dicha base y que estamos de alguna manera “obligados” a usarla (aunque los cálculos sobre la duración de los intervalos temporales y sobre las amplitudes de los ángulos constituyen algunos contraejemplos).
Puede por lo tanto ser útil sugerir, en el modo más concreto posible, que existen escrituras numéricas interpretables de manera diversa dependiendo de la base numérica elegida. Por ejemplo, la misma escritura “11” puede decir cosas diferentes, dependiendo del ámbito numérico seleccionado: querrá decir “tres” si elegimos la base dos, querrá decir “once” si escogimos la base diez, querrá decir “cinco” si elegimos la base cuatro, etcétera.
Desafortunadamente este instrumento y esta idea se malentendieron de una manera exagerada, creando una distorsión: más que limitarse a dar esta visión, de la posible multiplicidad de bases, algunos maestros entusiastas (pero un poco ingenuos) comenzaron a transformar esta actividad en una serie de ejercicios antipáticos y aburridos, que además no tuvieron resultados didácticos positivos ... Pero eso nada quita, desde mi punto de vista, a la idea inicial y al instrumento en sí.
