Читать книгу: «Теория пределов и нейросети. Практикум»

Глава 1

Теория пределов является фундаментальной частью математического анализа и играет ключевую роль в понимании концепций производной и интеграла. Если по существу, то предел функции описывает ее поведение, когда аргумент функции стремится к определенному значению.

Решению практических задач и выполнению практических заданий по нахождению пределов функций традиционными методами и с помощью нейросетей и посвящена данная книга.

1.Выполнение практических заданий

1. Найти предел функции f(x) = (x^2 +1)/( x^2 – 1) при x стремящегося к бесконечности.

Нейросеть Маша (СhatGPT-4)

Чтобы найти предел функции ( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 – 1} ) при ( x ) стремящемся к бесконечности, можно выполнить следующие шаги:

Разделим числитель и знаменатель на ( x^2 ): [ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 – 1} = \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{1 – \frac{1}{x^2}} ]

При ( x \to \infty ), члены ( \frac{1}{x^2} ) стремятся к 0: [ f(x) \to \frac{1 + 0}{1 – 0} = \frac{1}{1} = 1 ]

Таким образом, предел функции ( f(x) ) при ( x ) стремящемся к бесконечности равен:

[\lim_{x \to \infty} f(x) = 1]. Ответ: 1.

Традиционное решение

lim (x→к бесконечности)f(x)= lim (x→к бесконечности)(x^2 +1)/( x^2 – 1)=

= lim (x→к бесконечности)(x^2/x^2 + 1/x^2)/( x^2/x^2 – 1/x^2)I числитель и знаменатель функции делим на x^2 I= (1 + 0)/(1 – 0) = 1/1 = 1. Ответ: 1.

2.Найти предел функции f(x) = 4x +2x^2 при x стремящемся к 1.

Нейросеть Маша (СhatGPT-4)

Чтобы найти предел функции \( f(x) = 4x + 2x^2 \) при \( x \) стремящемся к 1, подставим 1 в функцию:

\[f(1) = 4(1) + 2(1)^2 = 4 + 2 = 6\]

Таким образом, предел функции:

\[\lim_{x \to 1} f(x) = 6\].Ответ: 6.

3.Найти предел функции f(x) = (x^2 – 3x +2)/( 2x^2 – 5x +2) при x стремящемся к 2.

Нейросеть Маша (СhatGPT-4)

Чтобы найти предел функции \[f(x) = \frac{x^2 – 3x + 2}{2x^2 – 5x + 2}\]

при \( x \) стремящемся к 2, сначала подставим 2 в функцию:

\[f(2) = \frac{2^2 – 3(2) + 2}{2(2^2) – 5(2) + 2} = \frac{4 – 6 + 2}{8 – 10 + 2} = \frac{0}{0}\]

При подстановке получаем неопределенность \( \frac{0}{0} \). Необходимо упростить выражение.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

1. Числитель: \( x^2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2) \).

2. Знаменатель: \( 2x^2 – 5x + 2 = (2x – 1)(x – 2) \).

Теперь подставим в предел:

\[f(x) = \frac{(x – 1)(x – 2)}{(2x – 1)(x – 2)}\]

Сократим \( (x – 2) \):\[f(x) = \frac{x – 1}{2x – 1}\]

Теперь найдем предел, подставив \( x = 2 \):

\[\lim_{x \to 2} f(x) = \frac{2 – 1}{2(2) – 1} = \frac{1}{4 – 1} = \frac{1}{3}\]

Таким образом, предел функции равен:

\[\lim_{x \to 2} f(x) = \frac{1}{3}\].Ответ: 1/3.

Традиционное решение

lim (x→2)f(x)= lim (x→2)(x^2 – 3x+2)/( 2x^2 – 5x +2)= lim (x→2)((x – 1)(x – 2)/( 2x – 1)(x – 2)) =

= I числитель и знаменатель функции сокращаем на (x -2) I= (x – 1)/(2x – 1) = 1/3. Ответ: 1/3.

4.Найти предел функции f(x) = ((1+x)^(1/2) – (1- x)^(1/2))/3x при x стремящемся к 0.

Нейросеть Маша (СhatGPT-4)

Чтобы найти предел функции \[f(x) = \frac{\sqrt{1+x} – \sqrt{1-x}}{3x}\]

при \( x \) стремящемся к 0, подставим 0 в функцию:

\[f(0) = \frac{\sqrt{1+0} – \sqrt{1-0}}{3 \cdot 0} = \frac{1 – 1}{0} = \frac{0}{0}\]

При подстановке получаем неопределенность \( \frac{0}{0} \). Чтобы решить это, применим метод умножения на сопряженное выражение:

Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} \):

\[f(x) = \frac{(\sqrt{1+x} – \sqrt{1-x})(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}{3x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}\]

В числителе получаем:

\[(\sqrt{1+x})^2 – (\sqrt{1-x})^2 = (1+x) – (1-x) = 2x\]

Таким образом, выражение становится:

\[f(x) = \frac{2x}{3x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} = \frac{2}{3(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}\]

Теперь можем найти предел:

\[\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{2}{3(\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0})} = \frac{2}{3(1 + 1)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]

Таким образом, предел функции равен:

\[\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{3}\]/.Ответ: 1/3.

Традиционное решение

lim (x→0)f(x)= lim (x→0)((1+x)^(1/2) – (1- x)^(1/2))/3x)= lim (x→0)(1 + x – 1 + x )/3x((1+x)^(1/2) + (1- x)^(1/2)) = I числитель и знаменатель функции умножаем на (1+x)^(1/2) + (1- x)^(1/2)I = 2/(3(1+1)) = 1/3. Ответ: 1/3.

5.Найти предел функции f(x) = (1 – cosx)/5x^2 при x стремящемся к 0.

Нейросеть Маша (СhatGPT-4)

Чтобы найти предел функции \[f(x) = \frac{1 – \cos x}{5x^2}\]

при \( x \) стремящемся к 0, подставим 0:

\[f(0) = \frac{1 – \cos(0)}{5(0)^2} = \frac{0}{0}\].

Получаем неопределенность \( \frac{0}{0} \). Используем формулу для приближения функции \( \cos x \) при \( x \) стремящемся к 0:

\[1 – \cos x \approx \frac{x^2}{2}\]

Таким образом, мы можем переписать функцию:

\[f(x) \approx \frac{\frac{x^2}{2}}{5x^2} = \frac{1}{10}\]

Теперь можем найти предел:\[\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{10}\]

Таким образом, предел функции равен:

\[\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{10}\].

Традиционноерешение

lim(x→0)f(x)= lim(x→0)(1- cos x)/5x^2) = lim (x→0)(2sin^2(x/2)/5x^2) = I применим тригонометрическую формулу половинного аргумента (1 – cosx) = 2sin^2(x/2)I = 2/5 lim(x→0) (sin^2(x/2)/4(x/2)^2) = 1/10 lim(x→0)(sin^2(x/2)/(x/2)^2) = 1/10 lim(x→0)((sin(x/2)/(x/2)) = I здесь функция представляет собой первый замечательный предел в квадратеI = (1/10)(1^2) = 1/10/

Ответ: 1/10.

6. Найти предел функции f(x) = (x^2 + 4 + 2x^4)/(x – 2 + 3x^4) при x стремящемся к бесконечности.

GPTutor

Чтобы найти предел функции ( f(x) = \frac{x^2 + 4 + 2x^4}{x – 2 + 3x^4} ) при ( x ) стремящемся к бесконечности (( x \to \infty )), мы можем использовать алгебраические методы пределов.

Для начала, определим степень числителя и знаменателя:

В числителе ( x^2 + 4 + 2x^4 ) наибольшая степень ( x^4 ).

В знаменателе ( x – 2 + 3x^4 ) также наибольшая степень ( x^4 ).

Теперь применим правило Лопиталя, так как степени числителя и знаменателя одинаковы и равны:

[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{x^2 + 4 + 2x^4}{x – 2 + 3x^4} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{8x^3 + 0 + 8x^3}{1 + 12x^3} ]

После дифференцирования числителя и знаменателя по ( x ):

[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{8x^3 + 0 + 8x^3}{1 + 12x^3} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{16x^3}{12x^3} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} ]

Таким образом, предел функции ( f(x) = \frac{x^2 + 4 + 2x^4}{x – 2 + 3x^4} ) при ( x ) стремящемся к бесконечности равен ( \boxed{\frac{4}{3}} ).Ответ:4/3.

7.Найти предел функции f(x) = 4x +2x^3 + 3 при x стремящемся к – 1.

GPTutor

Чтобы найти предел функции ( f(x) = 4x + 2x^3 + 3 ) при ( x ) стремящемся к ( -1 ), мы можем использовать алгебраические методы пределов. В данном случае, функция ( f(x) ) не содержит разрывов в окрестности ( x = -1 ), так что мы можем вычислить предел напрямую.

Вычислим предел:

[ \lim_{{x \to -1}} (4x + 2x^3 + 3) ]

Подставляем ( x = -1 ):

[ f(-1) = 4(-1) + 2(-1)^3 + 3 ]

[ f(-1) = -4 – 2 + 3 ]

[ f(-1) = -3 ]

Таким образом, предел функции ( f(x) = 4x + 2x^3 + 3 ) при ( x ) стремящемся к ( -1 ) равен ( \boxed{-3} ).

Ответ: – 3.

8. Найти предел функции f(x) = (x^2 – 3x +2)/(x^2 + 2x – 3) при x стремящемся к 1.

GPTutor

Чтобы найти предел функции ( f(x) = \frac{x^2 – 3x + 2}{x^2 + 2x – 3} ) при ( x ) стремящемся к ( 1 ), мы можем подставить ( x = 1 ) напрямую в выражение функции:

[ f(1) = \frac{1^2 – 3 \cdot 1 + 2}{1^2 + 2 \cdot 1 – 3} ]

[ f(1) = \frac{1 – 3 + 2}{1 + 2 – 3} ]

[ f(1) = \frac{0}{0} ]

Заметим, что получили неопределённость вида ( \frac{0}{0} ). Для решения этой неопределённости, мы можем применить метод деления числителя и знаменателя на ( (x – 1) ), так как ( x – 1 ) является фактором и числителя, и знаменателя:

[ f(x) = \frac{x^2 – 3x + 2}{x^2 + 2x – 3} ]

Делим числитель и знаменатель на ( (x – 1) ):

[ f(x) = \frac{(x – 1)(x – 2)}{(x – 1)(x + 3)} ]

При ( x \neq 1 ), ( x – 1 ) можно сократить:

[ f(x) = \frac{x – 2}{x + 3} ]

Теперь вычисляем предел ( f(x) ) при ( x \to 1 ):

[ \lim_{{x \to 1}} \frac{x – 2}{x + 3} = \frac{1 – 2}{1 + 3} = \frac{-1}{4} ]

Итак, предел функции ( f(x) = \frac{x^2 – 3x + 2}{x^2 + 2x – 3} ) при ( x ) стремящемся к ( 1 ) равен ( \boxed{-\frac{1}{4}} ).Ответ: 1/4.

Другой вариант решения (с помошью ChatGPT):

Для нахождения предела данной функции при x стремящемся к 1, подставим значение x = 1 в функцию:

f(1) = (1^2 – 31 + 2)/(1^2 + 21 – 3) = (1 – 3 + 2)/(1 + 2 – 3) = 0/0

Получили неопределенность вида 0/0. Для определения предела в этом случае, проведем кратное деление многочленов:

(x^2 – 3x + 2) / (x^2 + 2x – 3) = (x-1)(x-2) / (x+3)(x-1) = (x-2) / (x+3)

Теперь можно подставить x=1:

f(x) = (1-2) / (1+3) = -1 / 4

Ответ: Предел функции f(x) при x стремящемся к 1 равен 1/4.

9. Найти предел функции f(x) = ((1 + 3x)^(1/2) – (2x + 6)^(1/2))/(x^2 – 5x) при x стремящемся к 5.

GPTutor

Чтобы найти предел функции ( f(x) = \frac{\sqrt{1 + 3x} – \sqrt{2x + 6}}{x^2 – 5x} ) при ( x ) стремящемся к ( 5 ), мы начнём с проверки, не возникает ли неопределённости. Подставим ( x = 5 ):

Проверим знаменатель:

[ x^2 – 5x = 5^2 – 5 \cdot 5 = 25 – 25 = 0 ]

Знаменатель равен нулю, что означает, что есть неопределённость вида ( \frac{0}{0} ). Для разрешения этой неопределённости применим разложение в ряд Тейлора в окрестности точки ( x = 5 ).

Разложим каждый квадратный корень в ряд Тейлора:

[ \sqrt{1 + 3x} \approx \sqrt{16} = 4 + \frac{3(x – 5)}{4} ]

[ \sqrt{2x + 6} \approx \sqrt{16} = 4 + \frac{x – 5}{4} ]

Теперь подставим разложения в функцию ( f(x) ):

[ f(x) = \frac{\left( 4 + \frac{3(x – 5)}{4} \right) – \left( 4 + \frac{x – 5}{4} \right)}{x^2 – 5x} ]

[ f(x) = \frac{\frac{3(x – 5)}{4} – \frac{x – 5}{4}}{x^2 – 5x} ]

[ f(x) = \frac{\frac{2(x – 5)}{4}}{x^2 – 5x} ]

[ f(x) = \frac{\frac{1}{2}(x – 5)}{x(x – 5)} ]

[ f(x) = \frac{1}{2x} ]

Теперь вычисляем предел ( f(x) ) при ( x \to 5 ):

[ \lim_{{x \to 5}} \frac{1}{2x} = \frac{1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10} ]

Итак, предел функции ( f(x) = \frac{\sqrt{1 + 3x} – \sqrt{2x + 6}}{x^2 – 5x} ) при ( x ) стремящемся к ( 5 ) равен ( \boxed{\frac{1}{10}} ).Ответ: 1/10.

10. Найти предел функции f(x) = (7^x – 3^x)/x при x стремящемся к 0.

GPTutor

Чтобы найти предел функции ( f(x) = \frac{7^x – 3^x}{x} ) при ( x ) стремящемся к ( 0 ), мы можем использовать формулу для предела функции, в которой в знаменателе стоит ( x ).

Прежде чем вычислять, заметим, что подстановка ( x = 0 ) напрямую в функцию даст неопределённость ( \frac{0}{0} ), поэтому используем разложение в ряд Тейлора для функций ( 7^x ) и ( 3^x ) в окрестности точки ( x = 0 ):

[ 7^x \approx 1 + \ln(7) \cdot x ]

[ 3^x \approx 1 + \ln(3) \cdot x ]

Теперь выразим ( f(x) ) с использованием этих разложений:

[ f(x) = \frac{7^x – 3^x}{x} \approx \frac{(1 + \ln(7)x) – (1 + \ln(3)x)}{x} ]

[ f(x) = \frac{\ln(7)x – \ln(3)x}{x} ]

[ f(x) = \ln(7) – \ln(3) ]

Таким образом, предел функции ( f(x) = \frac{7^x – 3^x}{x} ) при ( x ) стремящемся к ( 0 ) равен ( \boxed{\ln\left(\frac{7}{3}\right)} ).Ответ:ln7 – ln3.

Более детальные комментарии к данным решениям, на мой взгляд, не нужны.

Попробуйте самостоятельно найти пределы следующих функции:

1) f(n) = (1 – 2n)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности. Правильный ответ: – 2/3.

2) f(n) = (n^2 + 1)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности. Правильный ответ:1.

3) f(x) = 2x/(x^2 – 4) – 1/(x – 2) при x стремящейся к 2. Правильный ответ:1/4.

Решение будет приведено в следующей главе.